u v 0 x y
u v 0 y x
如果引入 ψ(x , y) (流函数)，则连续性条件自动 满足:
u y , v x
无旋条件变为
u v 2 ( ) ( ) 2 2 0 y x yy x x x y
积没有纯转动。
如果下列三式不能同时满足，则为有旋流动:
v u w u w v 0 , 0 , 0 x y x z y z
我们目前仅考虑无旋流动。
二维流的流函数(steam function) 对于2D,稳态,不可压缩,无旋流动 连续性方程为 无旋条件退化为
du τ dy
μ为绝对粘度(absolute viscosity). 是流体的基本材料参数, 与其抗剪应力性能直接相关。
如果流体的粘度很小，则可忽略其剪应力，理想 化为无粘性流体。
2 不可压缩流体的控制方程
质量守恒
连续性方程
u, v, w, 是速度在 x,y,z方向的分量
质量守恒要求一个体积里面的质量变化率等于 该体积的质量净流入速度。 体积dV里的总质量为ρdV, 注意到 dV 为常数, 所以有：
( e ) S
二维流动的流速势函数(Velocity Potential Function)
假定存在流速势函数φ(x , y) 使得
uxy ( , ) , vxy ( , ) x y
or
应用Green-Gauss定理，上式变为
[N ] [N ] nd d x d y x S x x x (e) (e) S A
T T T [ N ] T [N ] nd d x d y0 y S y y y (e) (e) S A
Chapter 15
有限元方法在流体力学中的应用
Applications of FEM in Fluid Mechanics
(Fundamentals of finite element analysis by David V. Hutton)
1 引言
•不可压缩流体(incompressible flow): 密度不变 •可压缩流体(compressible flow) Newton’s law of viscosity
2 2


(Laplace’s equation)
2 i j k , x y z
•流函数的物理意义 流线(streamlines) : x-y平面内的曲线，其上的
流函数为常数。
d d x d y 0 d v d x u d y 0 x y
d V ( m a s s f l o w i n m a s s f l o w o u t ) t
从x,y,z三个方向流入质量造成的控制体积中的 质量变化率分别表示为： (u) m x udydz [ u dx ]dydz x ( v) m y vdxdz [ v dy ]dxdz y ( w) m z wdydz [ w dz ]dxdy z 所以质量的变化率为：

对于稳态的不可压缩流体(steady flow of an incompressible fluid),密度与时间和空间坐标无 关，于是
u v w 0 x y z
有旋流和无旋流(Rotational and Irrotational Flow) 把流体流动分为： •有旋流动(rotational) ---平动和转动混合 •无旋流动(irrotational) ---仅有平动。流体微元体


流线上的任一点的切向量可以表示为 nt = dx i + dyj， 该点处的流体速度为 V = ui + vj.
则 V × nt = (−v dx + u dy)k=0
因为：两个非零向量的叉积为零意味着 这两个向量平行，所以：
在流线上任一点，流体速度正切于流线。
有限元列式
具有M个节点的有限单元内的流函数可以表示为:

写为矩阵形式
( e ) [ K ] [ ] [f(e)]
T T [ N ] [ N ] [ N ] [ N ] () e [ K ] ( ) d x d y x x y y () e A
e ) T [ f( ] [ N ]( n v nd )S y x u
其中 S 为单元边界 (nx , ny ) 为边界单位外 法线向量。代入流函数表达式，有：
T T [] NN [] [] NN [] T ( ) d x d y [ ] [] N ( u n v n ) d S y x x x y y ( e ) ( e ) A S
() u () v ( w ) d V m m m [ ] d x d y d z x y z t x y z


注意到 dV = dx dy dz, 于是得到连续性方程为：
u v w u v w [ ]0 t x y z x y z
( xy , ) Nxy [ N ] [ ] i( , ) i
i 1
M

利用Galerkin方法, 单元的残差方程为：
2 2 N (, x y ) ( 2 2 ) d x d y 0 ,i 1 , M i () e A x y
2 2 [ N ] ( 2 2) d x d y 0 (e ) A x y