2015年高考数学基本初等函数的图像与性质主编：宁老师 主编单位：永辉中学生学习中心一、一次函数：1、通式：b kx x f +=)(；2、图像：直线；①0,0>>b k ②0,0<>b k③0,0><b k ④0,0<<b k3、单调性：①)(,,0x f R x k ∈>单调递增；②)(,,0x f R x k ∈<单调递减； 4、正比例函数：（1）、通式：kx x f =)(； （2）、正比例函数恒过点)0,0(； （3）、图像：①0>k ②0<k（4）、单调性：①)(,,0x f R x k ∈>单调递增；②)(,,0x f R x k ∈<单调递减； 二、二次函数：1、通式：c bx ax x f ++=2)(；2、开口方向：①0>a ，抛物线开口向上；②0<a ，抛物线开口向下； 3、与x 轴的交点个数： 计算：ac b 42-=∆；①当0>∆时，二次函数与x 轴有两个交点； ②当0=∆时，二次函数与x 轴有一个交点； ③当0<∆时，二次函数与x 轴没有交点； 4、图像：①0,0>∆>a ②0,0=∆>a ③0,0<∆>a④0,0>∆<a ⑤0,0=∆<a ⑥0,0<∆<a5、二次函数单调性： ①当0>a 时：)(),2,(x f a b x --∞∈单调递减；)(),,2(x f a bx +∞-∈单调递增； ②当0<a 时：)(),2,(x f a b x --∞∈单调递增；)(),,2(x f abx +∞-∈单调递减； 6、两种特殊的运算：（1）、当0,0<∆<a 时，R x ∈，)(x f 恒小于0；（2）、当0,0<∆>a 时，R x ∈，)(x f 恒大于0；题型一：已知函数12)(23-+-=x ax ax x f ，在定义域R x ∈上单调递增，求参数a 的取值范围； 【解析】：求导函数：143)('2+-=ax ax x f ； 因为：函数)(x f 在定义域R x ∈上单调递增； 所以：导函数)('x f 在R x ∈上恒大于0；003>⇒>a a ①；43001216134)4(22<<⇒<-=⨯⨯--=∆a a a a a ②； 所以：)43,0(∈a 。

【跟踪训练】：①、已知函数xe xax x f 3)(2-=，在定义域R x ∈上单调递增，求参数a 的取值范围；②、已知函数)23()(2x ax e x f x -=-，在定义域R x ∈上单调递减，求参数a 的取值范围； 7、二次函数在闭合区间上的值域： 方法：第一步：求对称轴； 第二步：判断对称轴是否在区间内；第三步：如果对称轴不在区间内，在区间的两个端点处取得两个最值；如果对称轴在区间内，在对称轴处取得一个最值，在区间距离对称轴比较远的另外一个端点处取得一个最值。

题型二：已知二次函数163)(2+-=x x x f ，求函数)(x f 在区间]3,0[∈x 上的值域；【解析】：求对称轴：1326=⨯--=x ； 因为：]3,0[1∈；所以：1=x 时取得一个最值； 因为：1距离0为1个单位，1距离3为2个单位； 所以：3=x 时取得一个最值。

211613)1(2-=+⨯-⨯=f ；1013633)3(2=+⨯-⨯=f ；所以：函数)(x f 在区间]3,0[∈x 上的值域为]10,2[)(-∈x f 。

【跟踪训练】：①、已知二次函数1)(2-+-=x x x f ，求函数)(x f 在区间]2,0[∈x 上的值域； ②、已知二次函数32)(2--=x x x f ，求函数)(x f 在区间)3,2(∈x 上的值域；8、一元二次不等式的解法：例题三：①解不等式：02522>+-x x 【解析】：解方程:21,20252212==⇒=+-x x x x ; 画出二次函数252)(2+-=x x x f 的图像：),2()21,(0)(02522+∞⋃-∞∈⇒>⇒>+-x x f x x 。

②解不等式：032>++x x【解析】：因为：013412<⨯⨯-=∆；所以：方程032=++x x 无解； 画出二次函数3)(2++=x x x f 的图像如下：R x x f x x ∈⇒>⇒>++0)(032；【跟踪训练】：①解不等式：0232≤+-x x ； ②解不等式：0432>++-x x ； ③解不等式：05322≤+-x x ； ④解不等式：0752>-+-x x ； 三、反比例函数： 1、通式：)0(,)(≠=k xkx f ； 2、反比例函数所在象限： ①当0>k 时：0)(0>⇒>x f x ，图像在第一象限；0)(0<⇒<x f x ，图像在第三象限；当0>k 时，反比例函数xkx f =)(在第一象限，第三象限。

②当0<k 时： 0)(0<⇒>x f x ，图像在第四象限；0)(0>⇒<x f x ，图像在第二象限；当0<k 时，反比例函数xkx f =)(在第二象限，第四象限。

3、图像：双曲线。

①0>k ②0<k4、解反比例不等式： 题型四：解不等式312>-x ； 【解析】：解法一： 当101>⇒>-x x 时：35332)1(32312<⇒->⇒->⇒>-x x x x 所以：)35,1(∈x ； 当101<⇒<-x x 时：35332)1(32312>⇒-<⇒-<⇒>-x x x x 所以：∅∈x ；综合以上所述：)35,1(∈x 。

解法二： 设t x =-1，则32312>⇒>-tx 画出反比例函数tt f 2)(=图像如下：所以：)32,0(3)(32∈⇒>⇒>t t f t )35,1()32,0(11∈⇒∈-⇒=-x x t x 。

【跟踪训练】： ①解不等式：3121>-x ； ②解不等式：1213<--x； 5、求反比例函数的值域： 题型五：已知函数11)(+=x x f ，求函数)(x f 在)5,1(-∈x 的值域。

【解析】：设)5,0()5,1(,1∈⇒-∈+=t x x t ； 画出反比例函数tt f 1)(=的图像：所以：),51()(),5,0(+∞∈∈t f t ；函数)(x f 在)5,1(-∈x 的值域为),51()(+∞∈x f 。

【跟踪训练】： ①已知函数22)(+-=x x f ，求函数)(x f 在)3,5(-∈x 的值域。

②已知函数123)(+-=x x f ，求函数)(x f 在)3,3(-∈x 的值域。

四、对勾函数：1、通式：)0,0(,)(>>+=b a xbax x f ； 2、基本不等式：①ab b a b a 20,0≥+⇒>>证明：因为：0)(2)()(2222≥-=⋅⋅-+=-+b a b a b a ab b a ； 所以：ab b a 2≥+。

②ab b a b a 20,0-≤+⇒<<证明：因为：0,00,0>->-⇒<< b a b a ；所以：根据基本不等式①得到：b a b a b a b a ⋅⋅≥-+-⇒-⋅-⋅≥-+-2)()()()(2)()(；ab b a ab b a 22)(-≤+⇒≥+-。

3、分析对勾函数： ①当0>x 时：ab xbax x b ax x b ax x b ax x 220,00≥+⇒⋅≥+⇒>>⇒> 当：abx x b ax =⇒=是，函数x b ax x f +=)(取得最小值； 所以：↑+∞∈↓∈)(),,(,)(),,0(x f abx x f a b x ； ②当0<x 时：xbax x b ax x b ax x ⋅-≤+⇒<<⇒<20,00；当：abx x b ax -=⇒=是，函数x b ax x f +=)(取得最大值； 所以：↓-∈↑--∞∈)(),0,(,)(),,(x f abx x f a b x ； 4、对勾函数的单调性：↓-∈↑--∞∈)(),0,(,)(),,(x f abx x f a b x ↑+∞∈↓∈)(),,(,)(),,0(x f abx x f a b x 5、对勾函数的图像：五、指数函数：1、通式：)1,0(,)(≠>=a a a x f x ；2、指数函数恒过)1,0(点。

3、定义域：R x ∈，值域：),0(+∞∈x ；4、单调性：①)(,),1,0(x f R x a ∈∈单调递减； ②)(,),,1(x f R x a ∈+∞∈单调递增； 5、图像：①),1(+∞∈a ②)1,0(∈a6、常见的两种特殊指数： ①k kxxx f 1)(==-； ②k kx x x f ==1)(； 7、五种指数基本运算式： ①yx yxaa a +=⋅； ②y x y x a aa -=； ③xyy x a a =)(；④xx xab b a )(=⋅； ⑤xx x ba b a )(=；8、解指数函数不等式：题型五：解不等式：3221>-x ；【解析】：因为：3log 223=；所以：3log 212122232>⇒>--x x；因为：x x f 2)(=是一个单调递增函数； 所以：23log 113log 23log 21222-<⇒->-⇒>-x x x ； 【跟踪训练】： ①解不等式：4232<-x ；②解不等式：5)21(1<-x；六、对数函数：1、通式：)1,0(,log )(≠>=a a x x f a ；2、对数函数恒过)0,1(点；3、定义域：),0(+∞∈x ；值域：R x f ∈)(；4、单调性：①)(),,0(),1,0(x f x a +∞∈∈单调递减； ②)(),,0(),,1(x f x a +∞∈+∞∈单调递增； 5、图像：①)1,0(∈a ②),1(+∞∈a6、对数函数的两种特殊形式： ①x x x f 10log lg )(==； ②)7.2(,log ln )(≈==e x x x f e ；7、对数函数的基本运算公式：①xy y x a a a log log log =+；②yx y x aa a log log log =-；③x y x a ya log log =；④xy y a a x log log log =；⑤1log log =⋅x y y x ；⑥x y x a a y log 1log =；⑦a x x y y a log log =；⑧xx a a aa x log log ==。