导数经典易错题解析导数经典易错题解析 1.（2010安徽卷理）已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是( )A.21y x =-B.y x =C.32y x =-D.23y x =-+答案 A解析 由2()2(2)88f x f x xx =--+-得几何2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x xx --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x=，∴切线方程12(1)y x -=-，即210x y --=选A2（2010江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y axx =+-都相切，则a 等于( )A ．1-或25-64B ．1-或214C ．74-或25-64 D ．74-或7 答案 A解析 设过(1,0)的直线与3y x =相切于点30(,)x x ，所以切线方程为 323()y x x x x -=-即23032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则0x=或032x=-，当0x=时，由0y =与21594y axx =+-相切可得2564a =-，当032x=-时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-，所以选A .3（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（ ）答案 D4（2007年福建理11文）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，答案 B.5（2007年海南理10）曲线12ex y =在点2(4e)，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．29e 2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e答案 D6.（2007年江苏9）已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．2D ．32答案 C 8已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= ． 答案 3 9如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则 ((0))f f =2；0(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆ ．（用数字作答）答案 －210（2010江西卷理）设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 ( )A ．4B ．14-C ．2D ．12- 答案 A解析 由已知(1)2g '=，而()()2f x g x x ''=+，所以(1)(1)214f g ''=+⨯=故选A力。

11（2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是 ( )A． B ． C ． D ．解析 因为函数()y f x =的导函数．．．()y f x '=在区间[,]a b 上是增函数，即在区间[,]a b 上各点处的斜率k是递增的，由图易知选A. 注意C 中y k '=为常数噢.12（2009天津卷理）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = ( )A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。

B 在区间1(,1),(1,)e e内均无零点。

C 在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。

D 在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点。

【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。

解析 由题得xx x x f 33131)`(-=-=，令0)`(>x f 得3>x ；令0)`(<x f 得30<<x ；0)`(=x f 得3=x ，故知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(+∞oo yoyoyy为增函数，在点3=x 处有极小值03ln 1<-；又()0131)1(,013,31)1(>+=<-==ee f e e f f ，故选择D 。

12.若曲线()2f x axInx=+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .解析 解析 由题意该函数的定义域0x >，由()12fx ax x'=+。

因为存在垂直于y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0x >范围内导函数()12f x ax x'=+存在零点。

解法1 （图像法）再将之转化为()2g x ax =-与()1h x x =存在交点。

当0a =不符合题意，当0a >时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当0a <如图2，此时正好有一个交点，故有0a <应填(),0-∞ 或是{}|0a a <。

解法 2 （分离变量法）上述也可等价于方程120ax x+=在()0,+∞内有解，显然可得()21,02a x=-∈-∞13(2009陕西卷理)设曲线1*()n y xn N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx ,令lg nnax =，则1299a aa +++L 的值为 .答案 -21*1112991299()'(1)'|11(1)(1)11298991...lg ...lg ...lg 22399100100n n n x n y x n N y x y n x y n y n x nx n a a a x x x ++==∈∴==+⇒=+⇒-=+-=++++====-g g g g 解析：点（1，1）在函数的图像上，（1，1）为切点，的导函数为切线是：令y=0得切点的横坐标：14（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b=+--++(,)a b ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；（II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．解析 （Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f又⎩⎨⎧-=+-='==3)2()0(0)0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a（Ⅱ）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有)1()1(<'-'f f ， 即：)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a15.（2009北京文）（本小题共14分）设函数3()3(0)f x xax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ）()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩（Ⅱ）∵()()()'230fx x a a =-≠,当0a <时，()'0f x >，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，此时函数()f x 没有极值点. 当0a >时，由()'0fx x a=⇒=±当(,x a ∈-∞-时，()'0f x >，函数()f x 单调递增， 当(,x a a ∈-时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当),x a ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，∴此时x a =()f x 的极大值点，x a =()f x 的极小值点.16.设函数321()(1)4243f x xa x ax a=--++，其中常数a>1(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围。

解析 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。

解析 （I ）)2)(2(4)1(2)(2a x x a x a x x f --=++-='由1>a 知，当2<x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间)2,(-∞是增函数；当a x 22<<时，0)(<'x f ，故)(x f 在区间)2,2(a 是减函数； 当a x 2>时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间),2(+∞a 是增函数。

综上，当1>a 时，)(x f 在区间)2,(-∞和),2(+∞a 是增函数，在区间)2,2(a 是减函数。

（II ）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。

aa a a a a a f 2424)2)(1()2(31)2(23+⋅++-=aa a 2443423++-=af 24)0(=由假设知⎪⎩⎪⎨⎧>>>,0)0(,0)2(1f a f a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-+->.024,0)6)(3(34,1a a a a a 解得 1<a<6故a 的取值范围是（1，6）17（2009辽宁卷理）（本小题满分12分） 已知函数f(x)=21x 2－ax+(a －1)ln x ，1a >。