新数学《平面向量》试卷含答案一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （ ）A ．2133BA AC +u u u r u u u rB ．2133BA AC -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u rD ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A【解析】【分析】连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论.【详解】解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，则()()221121332333OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===⨯+=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A.【点睛】本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题.2．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ⋅u u u r u u u r 的值为（ ）A ．83-B ．1-C ．1D ．3【答案】B【解析】【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．【详解】由已知可得：7 ， 又23tan BED 3BD ED ∠===所以221tan 1cos 1tan 7BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ⎛⎫⋅=∠=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．3．若向量a b r r ，的夹角为3π，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．12- B ．12 C 3D ．3 【答案】A【解析】【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =⋅r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ⋅+⋅=r r r ，即可得出答案.【详解】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+r r r r r r r r . 即22b a b =⋅r r r ，也即22cos 3b a b π=r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ⋅+=r r r ，即20t a a b ⋅+⋅=r r r . 所以2221122b a b t a b⋅=-=-=-r r r r r 故选：A【点睛】本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.4．已知O 是平面上一定点，满足()||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，[0λ∈，)+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．垂心C ．重心D ．内心【答案】B【解析】【分析】 可先根据数量积为零得出BC uuu r 与()||cos ||cos AB AC AB B AC C λ+u u u ru u u r u u ur u u u r 垂直，可得点P 在BC 的高线上，从而得到结论． 【详解】 Q ()||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC Cλ-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 即()||cos ||cos AB AC AP AB B AC C λ=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， Q cos BA BC B BA BC ⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，cos CA CB C CA CB⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()0||cos ||cos AB AC BC BC BC AB B AC C⋅+=-+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴BC uuu r 与()||cos ||cos AB AC AB B AC Cλ+u u u r u u u r u u u r u u u r 垂直， 即AP BC ⊥uu u r uu u r ，∴点P 在BC 的高线上，即P 的轨迹过ABC ∆的垂心.故选：B ．【点睛】本题重点考查平面向量在几何图形中的应用，熟练掌握平面向量的加减运算法则及其几何意义是解题的关键，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.5．如图，在ABC V 中，AD AB ⊥，BC =u u u v u u v ，1AD =u u u v ，则AC AD ⋅=u u u v u u u v （ ）A ．3B 3C 3D 3【答案】D【解析】 ∵3AC AB BC AB =+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u v ，∴(3)3AC AD AB AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uuu r ， ∴33cos 3cos 33AC AD AD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==，故选D ．6．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，2220OB OA +=，若平面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r ，则PO 的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】C【解析】【分析】 设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =u u u r u u u r 可得262m x n y=-⎧⎨=-⎩，再根据2220OB OA +=可得点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值.【详解】 设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--u u u r ，(),2PA x y =--u u u r .由3PB PA =u u u r u u u r 可得363m x x n y y-=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y =-⎧⎨=-⎩， 因为2220OB OA +=，故()22443420x y +-+=，整理得到()2234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2， 故PO 的最大值为325+=，故选：C.【点睛】本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.7．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值是（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】B【解析】【分析】 根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为()211a -+，由二次函数性质可得结果.【详解】 由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r ，,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r ，()2111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.故选：B .【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.8．在ABC ∆中，5,6,7AB BC AC ===，点E 为BC 的中点，过点E 作EF BC ⊥交AC 所在的直线于点F ，则向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．3【答案】A【解析】【分析】 由1()2AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， EF BC ⊥，得12AF BC ⋅=u u u r u u u r ，然后套用公式向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影||AF BC BC ⋅=u u u r u u u r u u u r ，即可得到本题答案. 【详解】因为点E 为BC 的中点，所以1()2AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又因为EF BC ⊥， 所以()22111()()()12222AF BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影为2||AF BC BC ⋅=u u u r u u u r u u u r . 故选：A.【点睛】本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积，主要考查学生的转化求解能力.9．延长线段AB 到点C ，使得2AB BC =u u u r u u u r ，O AB ∉，2OD OA =u u u v u u u v ，则（ ）A ．1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u vB ．5263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v C ．5163BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v D ．1163BD OA OC =+u u u v u u u v u u u v 【答案】A【解析】【分析】利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案；【详解】Q BD OD OB =-u u u v u u u v u u u v ，()22123333OB OA AC OA OC OA OA OC =+=+-=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，12OD OA =u u u v u u u v ， ∴1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v ， 故选：A.【点睛】 本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力. 10．在ABC V 中，E 是AC 的中点，3BC BF =u u u r u u u r ，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则EF =u u u r （ ）A ．2136a b -r rB ．1133a b +r rC ．1124a b +r rD ．1133a b -r r【答案】A【解析】【分析】根据向量的运算法则计算得到答案.【详解】1223EF EC CF AC CB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()12212336AC AB AC AB AC =+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2136a b =-r r . 故选：A .【点睛】本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.11．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（ ）A ．125B ．125-C ．32D ．32- 【答案】B【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴416122555m y x =-=-=-， 故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．12．平面向量a →与b →的夹角为π3，()2,0a →=，1b →=，则2a b →→-=（ ） A ．3B 6 C ．0 D ．2【答案】D【解析】【分析】 根据向量的模的计算和向量的数量积的运算即可求出答案.【详解】()2,0a →=Q ，||2a →∴=22222(2)||4||444421cos 43a b a b a b a b π→→→→∴-=-=+-⋅=+-⨯⨯⨯=r r r r ， |2|2a b ∴-=r r ， 故选：D【点睛】本题考查了向量的模的计算和向量的数量积的运算，属于中档题.13．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2-3b 2=2ac ，BA u u u r ⋅BC uuu r =2，则△ABC 的面积为（ ）A 2B ．32C ．22D ．42【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理求出B 的余弦函数值，结合向量的数量积求出ca 的值，然后求解三角形的面积．【详解】在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2﹣3b 2＝2ac ，可得cosB 222123a c b ac +-==，则sinB 3= BA u u u r ⋅BC =u u u r 2，可得cacosB ＝2，则ac ＝6，∴△ABC 的面积为：11622acsinB =⨯=． 故选C ．【点睛】本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力． 14．在ABC V 中，AD AB ⊥，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅u u u r u u u r 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】 由题意转化(3)AC AD AB BD AD ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，利用数量积的分配律即得解.【详解】AD AB ⊥Q ，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r ， ()(3)AC AD AB BC AD AB BD AD ∴⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2333AB AD BD AD AD =⋅+⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：C【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.15．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u r A ．12AB AD -+u u u r u u u r B ．12AB AD -u u u r u u u r C ．12AB AD +u u u r u u u r D ．12AB AD -u u u r u u u r 【答案】A【解析】【分析】由平面向量的加法法则运算即可.【详解】如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法则可知1.2BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 故选A.【点睛】本题考查平面向量的加法法则，属基础题.16．如图，两个全等的直角边长分别为1,3的直角三角形拼在一起，若AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+等于（ ）A 323-+B 323+C 31D 31+【答案】B【解析】【分析】 建立坐标系，求出D 点坐标，从而得出λ，μ的值．【详解】解：1AC =Q ，3AB =30ABC ∴∠=︒，60ACB ∠=︒，以AB ，AC 为坐标轴建立坐标系，则13,12D ⎛+ ⎝⎭． )3,0AB =u u u r ，()0,1AC =uu u r ， ∴13,12AD ⎛=+ ⎝⎭u u u r ． Q AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，∴1 323 1λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴3631λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，231λμ∴+=+．故选：B．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．17．已知向量ar与向量br满足||2a=r，||2b=r||||5a b a b+⋅-=r r r r，则向量ar与向量br的夹角为( )A．4π或34πB．6π或56πC．3π或23πD．2π【答案】A【解析】【分析】设向量ar，br的夹角为θ，则2||1282a bθ+=+r r，2||1282a bθ-=-r r，即可求出2cosθ，从而得到向量的夹角；【详解】解：设向量ar，br的夹角为θ，222||||||2||||cos4882a b a b a bθθ+=++=++r r r r r r1282θ=+，222||||||2||||cos48821282a b a b a bθθθ-=+-=+-=-r r r r r r，所以2222||||144128cos(45)80a b a bθ+⋅-=-==r r r r，21cos2θ∴=，因为[0,)θπ∈，故4πθ=或34π，故选：A.【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律，及夹角的计算，属于中档题.18．已知A ，B 是圆224+=O: x y 上的两个动点，||2AB =u u u r ，1233OC OA OB =+u u u r u u ur u u u r ，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值为（ ）. A ．3 B ．23 C ．2 D ．3 【答案】D【解析】【分析】 判断出OAB ∆是等边三角形，以,OA OB u u u r u u u r 为基底表示出OM u u u u r ，由此求得OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值.【详解】 圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =u u u r ，所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线段AB 的中点，所以1122OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r .所以OC OM ⋅u u u r u u u u r 12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭u u uu u u r u u u r r u u u r 22111623OA OA OB OB =+⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 21422cos603323=+⨯⨯⨯+=o . 故选：D【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.19．已知向量()1,3a =-v ，()3,b m =v ，若a b ⊥v v ，则2a b +v v 等于（ ）A ．10B ．16C ．52D ．410【答案】C【解析】【分析】 先利用向量垂直的坐标表示求出实数m 的值，得出向量b r 的坐标，并计算出向量2a b +r r ，最后利用向量模的坐标运算得出结果．【详解】 ()1,3a =-r Q ，()3,b m =r ，a b ⊥r r ，则1330a b m ⋅=⨯-=r r ，得1m =，()3,1b ∴=r ，则()()()221,33,15,5a b +=-+=-r r ，因此，2a b +==r r C.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算，意在考查学生对这些公式的理解掌握情况，考查运算求解能力，属于中等题．20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r （ ）A ．4BC ．2D 【答案】A 【解析】【分析】根据向量的线性运算可得3144EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可. 【详解】因为11131()22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以22229311216441||6EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916=，所以||EB =u u u r ， 故选：A【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。