专题 功能关系 能量守恒定律功能关系的理解和应用1.对功能关系的理解(1)做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。

(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。

2.几种常见的功能关系及其表达式 各种力做功 对应能的变化 定量关系合力做功动能变化 合力对物体做功等于物体动能的变化量W 合＝E k2－E k1重力做功 重力势能 变化 重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，且W G ＝－ΔE p ＝E p1－E p2 弹簧弹力 做功 弹性势能 变化 弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增加，且W 弹＝－ΔE p ＝E p1－E p2 只有重力、弹 簧弹力做功 系统机械能 不变化 系统机械能守恒，即ΔE ＝0非重力和 弹力做功机械能 变化除重力和弹力之外的其他力做正功，物体的机械能增加，做负功，机械能减少，且W 其他＝ΔE【例1】 (2017·全国Ⅲ卷，16)如图1，一质量为m 、长度为l 的均匀柔软细绳PQ 竖直悬挂。

用外力将绳的下端Q 缓慢地竖直向上拉起至M 点，M 点与绳的上端P 相距13l 。

重力加速度大小为g 。

在此过程中，外力做的功为( )图1A.19mgl B.16mgl C.13mglD.12mgl解析 由题意可知，PM 段细绳的机械能不变，MQ 段细绳的重心升高了l6，则重力势能增加ΔE p ＝23mg ·l 6＝19mgl ，由功能关系可知，在此过程中，外力做的功为W ＝19mgl ，故选项A 正确，B 、C 、 D 错误。

答案 A【例2】 (多选) (2019·全国Ⅱ卷，18)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E 总等于动能E k 与重力势能E p 之和。

取地面为重力势能零点，该物体的E 总和E p 随它离开地面的高度h 的变化如图2所示。

重力加速度取10 m/s 2。

由图中数据可得( )图2A.物体的质量为2 kgB.h ＝0时，物体的速率为20 m/sC.h ＝2 m 时，物体的动能E k ＝40 JD.从地面至h ＝4 m ，物体的动能减少100 J解析 由于E p ＝mgh ，所以E p 与h 成正比，斜率是k ＝mg ，由图象得k ＝20 N ，因此m ＝2 kg ，A 正确；当h ＝0时，E p ＝0，E 总＝E k ＝12m v 20，因此v 0＝10 m/s ，B 错误；由图象知h ＝2 m 时，E 总＝90 J ，E p ＝40 J ，由E 总＝E k ＋E p 得E k ＝50 J ，C错误；h＝4 m时，E总＝E p＝80 J，即此时E k＝0，即从地面上升至h＝4 m高度时，物体的动能减少100 J，D正确。

答案AD1.如图3所示，某滑翔爱好者利用无动力滑翔伞在高山顶助跑起飞，在空中完成长距离滑翔后安全到达山脚下。

他在空中滑翔的过程中()图3A.只有重力做功B.重力势能的减小量大于重力做的功C.重力势能的减小量等于动能的增加量D.动能的增加量等于合力做的功解析由功能关系知，重力做功对应重力势能的变化，合外力做功对应物体动能的变化，选项D正确。

答案 D2.(2019·广东省惠州市第三次调研)质量为2 kg的物体以10 m/s的初速度，从起点A出发竖直向上抛出，在它上升到某一点的过程中，物体的动能损失了50 J，机械能损失了10 J，设物体在上升、下降过程空气阻力大小恒定，则该物体再落回到A点时的动能为(g＝10 m/s2)()A.40 JB.60 JC.80 JD.100 J解析物体抛出时的总动能为100 J，物体的动能损失了50 J时，机械能损失了10 J，则动能损失100 J时，机械能损失了20 J，此时到达最高点，返回时，机械能还会损失20 J，故从A点抛出到落回到A点，共损失机械能40 J，所以该物体再落回到A点时的动能为60 J，A、C、D错误，B正确。

答案 B摩擦力做功与能量的转化1.两种摩擦力的做功情况比较比较类别静摩擦力滑动摩擦力不同点能量的转化方面只有能量的转移，而没有能量的转化既有能量的转移，又有能量的转化一对摩擦力的总功方面一对静摩擦力所做功的代数和等于零一对滑动摩擦力所做功的代数和不为零，总功W＝－fs相对，即相对滑动时产生的热量相同点正功、负功、不做功方面两种摩擦力对物体可以做正功、负功，还可以不做功2.相对滑动物体能量问题的解题流程【例3】(多选)(2019·江苏卷，8)如图4所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。

小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。

物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度。

在上述过程中()图4A.弹簧的最大弹力为μmgB.物块克服摩擦力做的功为2μmgsC.弹簧的最大弹性势能为μmgsD.物块在A点的初速度为2μgs解析物块向左运动压缩弹簧，弹簧最短时，物块具有向右的加速度，弹力大于摩擦力，即F>μmg，A错误；根据功的公式，物块克服摩擦力做的功W＝μmgs ＋μmgs＝2μmgs，B正确；根据能量守恒，弹簧弹开物块的过程中，弹簧的弹性势能通过摩擦力做功转化为内能，故E pm＝μmgs，C正确；根据能量守恒，在整个过程中，物体的初动能通过摩擦力做功转化为内能，即12＝2μmgs，所以v2m v＝2μgs，D错误。

答案BC1.(多选)如图5所示，质量为M、长度为L的小车静止在光滑水平面上，质量为m 的小物块(可视为质点)放在小车的最左端。

现用一水平恒力F作用在小物块上，使小物块从静止开始做匀加速直线运动。

小物块和小车之间的摩擦力为f，小物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为s。

此过程中，以下结论正确的是()图5A.小物块到达小车最右端时具有的动能为(F－f)(L＋s)B.小物块到达小车最右端时，小车具有的动能为fsC.小物块克服摩擦力所做的功为f(L＋s)D.小物块和小车增加的机械能为Fs解析由动能定理可得，小物块到达小车最右端时的动能E k物＝W合＝(F－f)(L＋s)，A正确；小物块到达小车最右端时，小车的动能E k车＝fs，B正确；小物块克服摩擦力所做的功W f＝f(L＋s)，C正确；小物块和小车增加的机械能为F(L＋s)－fL，D错误。

答案ABC2.高速公路部分路段旁建有如图6所示的避险车道，车辆可驶入避险。

若质量为m的货车刹车后以初速度v0经A点冲上避险车道，前进距离s时到B点减速为0，货车所受阻力恒定，A、B两点高度差为h，C为A、B中点，已知重力加速度为g，下列关于该货车从A运动到B的过程说法正确的是()图6A.克服阻力做的功为12m v2B.该过程产生的热量为12m v2－mghC.在AC段克服阻力做的功小于在CB段克服阻力做的功D.在AC段的运动时间等于在CB段的运动时间解析设货车所受阻力为f，根据动能定理有－mgh－fs＝0－12m v2，克服阻力做的功为W f＝fs＝12m v 2－mgh，故A错误；克服阻力做的功等于系统产生的内能，则该过程产生的热量为12m v 2－mgh，故B正确；阻力做的功与路程成正比，在AC 段克服阻力做的功等于在CB段克服阻力做的功，故C错误；从A到B做匀减速运动，AC段的平均速度大于BC段的平均速度，故在AC段的运动时间小于在CB段的运动时间，故D错误。

答案 B能量守恒定律的应用1.对能量守恒定律的理解(1)转化：某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。

(2)转移：某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。

2.涉及弹簧的能量问题应注意两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点：(1)能量变化上，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。

(2)如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合外力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同。

【例4】 (2019·保定一模)如图7所示，固定斜面AB 和CB 与水平面均由一小段光滑圆弧连接，倾角分别为α、β，OB ＝h 。

细线一端固定在竖直挡板上，另一端系一质量为m 的小物块，在小物块和挡板之间压缩一轻质弹簧(小物块与弹簧不连接)，烧断细线，小物块被弹出，滑上斜面AB 后，恰好能运动到斜面的最高点，已知AD ＝l ，小物块与水平面、斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g ，则( )图7A.弹簧对小物块做功为μmglB.斜面摩擦力对小物块做功为μmgh sin αC.细线烧断前，弹簧具有的弹性势能为mgh ＋μmg (htan α＋l )D.撤去斜面AB ，小物块还从D 点弹出，将沿斜面CB 上滑并从B 点飞出去 解析 烧断细线后，弹簧的弹性势能转化成小物块的重力势能与摩擦生成的热量之和，即E p ＝mgh ＋μmgl ＋μmg cos α·h sin α＝mgh ＋μmg (htan α＋l )，弹簧对小物块做的功等于弹性势能减少量，也为mgh ＋μmg ·(htan α＋l )，故A 错误，C 正确；小物块从A 到B 过程中，斜面摩擦力对小物块做负功，且为－μmg cos α·h sin α＝－μmg ·h tan α，故B 错误；物块克服摩擦力做的功W f＝μmg (h tan α＋l )＝μmg ·OD ，可见W f 与斜面倾角无关，所以撤去斜面AB ，小物块从C 点冲上斜面，仍恰能到达B 点，D 错误。

答案 C1.质量为m 的物体以初速度v 0沿水平面向左开始运动，起始点A 与一轻弹簧O端相距s，如图8所示。

已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，重力加速度为g，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为()图8A.12m v2－μmg(s＋x) B.12m v2－μmgxC.μmgsD.μmg(s＋x)解析根据功的定义式可知物体克服摩擦力做功为W f＝μmg(s＋x)，由能量守恒定律可得12m v 20＝W弹＋W f，W弹＝12m v2－μmg(s＋x)，故选项A正确。

答案 A2.如图9所示，在距水平地面高h1＝1.2 m的光滑水平台面上，一个质量m＝1 kg 的小物块压缩弹簧后被锁定。

现解除锁定，小物块与弹簧分离后以一定的水平速度v1向右从A点滑离平台，并恰好从B点沿切线方向进入竖直面内的光滑圆弧轨道BC。

已知B点距水平地面的高度h2＝0.6 m，圆弧轨道BC的圆心O与水平台面等高，C点的切线水平，并与长L＝2.8 m的水平粗糙直轨道CD平滑连接，小物块恰能到达D处。