圆的方程
【考点导读】
1.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。

2.本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，利用三角换元或数形结合求最值问题，题型难度以容易题和中档题为主.
【基础练习】
1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB 为直径的圆的方程为(x + 1)2 + (y －1)2 = 25
2.过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（x －1）2＋（y －1）2＝4
3.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为0422=-+x y x
4.圆22420x y x y c +-++=与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=120°，则实数c 值为_-11__
5.如果方程
220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有__D=E__ 【范例导析】
【例1】 设方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程。

分析:配成圆的标准方程再求解
解：配方得：[]2
222(3)(14)167x m y m m m ⎡⎤-++--=+-⎣⎦ 该方程表示圆，则有
2
1670m m +->，得1(,1)7m ∈-，此时圆心的轨迹方程为2341x m y m =+⎧⎨=-⎩，消去m ，得24(3)1y x =--，由1(,1)7m ∈-得x =m +320,47⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，20,47x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中
20,47x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 变式1：方程224(1)40ax ay a x y +--+=表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。

解：原方程可化为22222(1)24(22)()a a a x y a a a --+⎡⎤-++=⎢⎥⎣
⎦ 2220,a a -+>∴Q 当a 0≠时，原方程表示圆。

又r ===≥
当min 2,a r ==()()22112x y -++=
例2 求半径为4，与圆
042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．
解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：
． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．
(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得10
22±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()102
2(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()62
2(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．
【反馈练习】
1.关于x,y 的方程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是B=0且A=C ≠0,D 2+E 2
-4AF ＞0
2.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是(5，-1)
3.若两直线y=x+2k 与y=2x+k+1的交点P 在圆x 2+y 2=4的内部，则k 的范围是115
k -<< 4.已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是
22460x y x y +-+= 5.直线y=3x+1与曲线x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标是31,1010⎛⎫- ⎪⎝⎭
6.方程
1x -=_两个半圆 7.圆2)4()3(22=++-y x 关于直线0=+y x 的对称圆的方程是22(4)(3)2x y -++=
8.如果实数x 、y 满足等式()2223x y -+=，那么y x 的最大值是3
9.已知点)1,1(-A 和圆4)7()5(:22=-+-y x C ，求一束光线从点A 经x 轴反射到圆周C 的最短路程为___8___
10．求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x ─y ─3=0上的圆的方程;
解：设圆心P(x 0,y 0),则有⎩⎨⎧-+-=-+-=--2020202000)2()3()2()5(0
32y x y x y x ,
解得 x 0=4, y 0=5,
∴半径r=10,
∴所求圆的方程为(x ─4)2+(y ─5)2=10
11. 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程 解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，
故设圆方程为222
(3)()9x b y b b -+-= 又因为直线y =x 截圆得弦长为2
7，
则有2
+2=9b 2
， 解得b =±1故所求圆方程为
22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=
点拨:（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）待定系数法;（3）尽量利用几何关系求a 、b 、r 或D 、E 、。