江苏省仪征市第二中学2020至2021学年高三第一学期12月第三次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．） 1．若集合{}{}1,0,1,0,2A B =-=，则集合A ∪B 中元素的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2.cos450︒=（）A. 1B.12C. 0D. 323．已知命题p ：角α的终边在直线3y x =上，命题q ：π3α=，那么p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．若集合{}210x ax x -+=中只有一个元素，则实数a 的值为（）A ．14B ．0C ．4D ．0或145．函数01()22f x x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭的定义域为（） A ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(2,)-+∞C ．112,,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．若幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）•x m 在（0，+∞）单调递减，则f （2）＝（ ） A ．8B ．3C ．﹣1D ．7．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()21f x x mx =++，且()12f =-，则实数m 的值为（）A ．4-B ．0C ．4D ．28．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为（）2cmA ．2πB ．C ．2πD ．4π二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9．已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤，，若()12f a =，则实数a 的值可能是（）A.1-B.12C. 2D. 2-10．若函数244y x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[8,4]--，则m 的值可能是（） A ．2B ．3C ．4D ．511．给出下列命题，其中是假命题的是（）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,4；B ．函数()1f x x=的单调递减区间是()(),00,-∞⋃+∞； C ．若定义在R 上的函数()f x 在区间(],0-∞上是单调增函数，在区间()0,∞+上也是单调增函数，则()f x 在R 上是单调增函数；D ．1x ，2x 是()f x 定义域内的任意的两个值，且12x x <，若()()12f x f x >，则()f x 是减函数.12．下列结论正确的是（）A ．76π-是第三象限角 B ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形面积为32πC ．若角α的终边过点()3,4P -，则3cos 5α=- D ．若角α为锐角，则角2α为钝角三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知幂函数()y f x =的图象过点(2，则()9f =．14．若角α的终边经过点()3,P b -，且3cos 5α=-，则b =__________. 15．若直线l ：2(0,0)x ya b a b+=>>经过点(2,4)，则的最小值是．16．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩，其中0m >.若()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，则m 的取值范围是；若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是.（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 已知π02α<<，4sin 5α=． （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求()()()πsin π2cos 2sin cos παααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭--++的值．18．（本小题满分12分）已知函数()()2log 1f x x -A ，函数()0(11)2xg x x ⎫-⎛=⎪⎭≤ ≤⎝的值域为集合B . （1）求A ∩B ；（2）若集合{}21C x a x a =≤≤-，且C B B =，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分12分）（1）已知tan α是关于x 的方程2210x x --=的一个实根，且α是第三象限角，求3sin 2α﹣sin αcos α+2cos 2α的值．（2）已知，且ππ2α<<，求的值20．（本小题满分12分）在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为2200m 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m 宽的绿化，绿化造价为200元/2m ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/2m .设矩形的长为()xm .（1）设总造价y （元）表示为长度()x m 的函数；（2）当()x m 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.21．（本小题满分12分） 已知奇函数()22x xaf x =+，x ∈(-1, 1)． （1）求实数a 的值；（2）判断()f x 在（﹣1，1）上的单调性并进行证明；（3）若函数()f x 满足f （1﹣m ）+f （1﹣2m ）＜0，求实数m 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数2()(23)6()f x ax a x a R =-++∈． （1）当1a =时，求函数()y f x =的零点；（2）解关于x 的不等式()0(0)f x a <>； （3）当1a =时，函数在[2,2]-有解，求实数m 的取值范围．江苏省仪征市第二中学2020至2021学年高三第一学期12月第三次月考数学试卷参考答案1．D 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D 7. B 8．C 9. AC 10．ABC 11．ABC 12．BC 13．3 14．4± 15．322+ 16．03m <≤3m > 17．解：（Ⅰ）由，，得，则．（Ⅱ）4．18．（1）要使函数()()2log 1f x x =-有意义，则()2log 10x -≥，得11x -≥，解得2x ≥，[)2,A ∴=+∞.对于函数()0(11)2x g x x ⎫-⎛=⎪⎭≤ ≤⎝，该函数为减函数，10x -≤≤，则1122x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()12g x ≤≤，[]1,2B ∴=，因此，{}2A B ⋂=； （2）C B B =，C B ∴⊆.当21a a -<时，即当1a <时，C =∅，满足条件； 当21a a -≥时，即1a ≥时，要使C B ⊆，则1212a a ≥⎧⎨-≤⎩，解得312a ≤≤.综上所述，实数a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.19．解：（1）∵tan α是关于x 的方程2x 2﹣x ﹣1＝0的一个实根，且α是第三象限角， ∴tan α＝1，或tan α（舍去），∴3sin 2α﹣sin αcos α+2cos 2α2．（2），解得，进而可求20．（1）由矩形的长为()xm ，则矩形的宽为200()m x， 则中间区域的长为()4x m -，宽为2004()m x-，则定义域为(4,50)x ∈ 则200200100(4)4200200(4)4y x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯--+---⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 整理得20018400400y x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，(4,50)x ∈ （2）2002002x x x x+≥⋅=200x x =时取等号，即102(4,50)x =所以当102x =时，总造价最低为1840080002+元21.解：（1）∵函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f （0）＝0，1+a ＝0，∴a ＝﹣1．（2）证明：由（1）可知，f （x ）．任取﹣1＜x 1＜x 2＜1，则 f （x 1）﹣f （x 2）∵∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，得f （x 1）＜f （x 2） 所以，f （x ）在（﹣1，1）上单调递增． （3）∵f （x ）为奇函数，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）． 由已知f （x ）在（﹣1，1）上是奇函数，∴f （1﹣m ）+f （1﹣2m ）＜0可化为f （1﹣m ）＜﹣f （1﹣2m ）＝f （2m ﹣1）， 又由（2）知f （x ）在（﹣1，1）上单调递增， ∴﹣1＜1﹣m ＜2m ﹣1＜1，解得m ＜1．22．解：（1）当1a =时，2()56(2)(3)f x x x x x =-+=--，所以函数()y f x =的零点为2，3.（2）由2()(23)60f x ax a x =-++<可得(3)(2)0ax x --<，当302a <<时，解得32x a<<； 当32a =时，x 不存在，不等式的解集为∅； 当32a >时，解得32x a<<.综上，当302a <<时，不等式的解集3{|2}x x a<<， 当32a =时，不等式的解集∅， 当32a >时，不等式的解集3{2}x x a<<. （3）1a =时，在[2,2]-有解，即在[2,2]-有解，因为23y x mx m =++-的开口向上，对称轴2mx =-， ①即，2x =-时，函数取得最小值即，.②222m -<-<即44m -<<时，当2mx =-取得最小值，此时，解得.③当即时，当2x =时取得最小值，此时，解得， 综上，或．。