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运筹学教程
第三章习题解答
(4)若所有价值系数均乘以2，最优解是否改变？ 为什么?
答：最优解不变。因为检验数不变。
(5)写出该运输问题的对偶问题，并给出其对偶问 题的最优解。
解：对偶问题如下：
m
n
max Z aiui bjv j
i 1
j 1
ui v j cij i 1,2, m; j 1,2, , n ui , v j无约束, i 1,2, m; j 1,2, , n 最优解是：u1 1, u2 0, u3 0,
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第三章习题解答
3.5 用表上作业法求解运输问题时，在什么情况 下会出现退化解？当出现退化解时应如何处理？
解：当数字格的数量小于m+n-1时，相应的解就 是退化解。如果出现了退化解，首先找到同时划去的 行和列，然后在同时划去的行和列中的某个空格中填 入数字0。只要数字格的数量保持在m+n-1个的水平即 可。
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第三章习题解答
3.4 详细说明用位势法(对偶变量法)求检验数的原 理。
解：原问题的检验数也可以利用对偶变量来计 算：
ij cij (ui v j ) i 1,2, m; j 1,2, , n
其中，ui和vj就是原问题约束对应的对偶变量。由于 原问题的基变量的个数等于m+n-1。所以相应的检验 数就应该等于0。即有：
运筹学教程（第二版） 习题解答
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第三章习题解答
3.1 与一般线性规划的数学模型相比，运输问题 的数学模型具有什么特征?
答：
1、运输问题一定有有限最优解。
2、约束系数只取0或1。
3、约束系数矩阵的每列有两个1， 而且只有两个 1。前m行中有一个1，或n行中有一个1。
4、对于产销平衡的运输问题，所有的约束都取 等式。
优解？(2)若如不价是值，系请数求c2出4由最1变优为解3。，所给的解是否仍为最
答：原来的解不是最优解。新的最优解是：
x12=3,x13=5,x21=8,x22=2,x33=1,x34=3， 其他变量为0 。 (3)若所有价值系数均增加1，最优解是否改变？ 为什么? 答：不会改变。因为检验数不变。
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400 500 50 300 300 20 100 70
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第三章习题解答
3.8 表3-32和表3-33分别给出了各产地和各销地
的产量和销量，以及各产地至各销地的单位运价，试 用表上作业法求最优解。
销地
产地
B1
表3-32
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第三章习题解答
3.6 一般线性规划问题具备什么特征才能将其转 化为运输问题求解，请举例说明。
解：如果线性规划问题有“供”和“需”的关系， 并且有相应的“费用”，就可以考虑将线性规划问题 转成运输问题求解。例如，生产满足需求的问题。
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习题3.9的解答
销地
产地
B1 B2 B3 B4 B5 产量
A1
33 7 6 24 0 5
A2
2 4 23 2 0 2
A3 销量
4 33 8 5 30 6 33223
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销地
产地
B1
表3-36
B2
B3
B4 产量
A1
A2 A3 销量
4 51 34
68
81
2
6 2 1 10
1
7 35 11 4
8
5
6
3 22
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第三章习题解答
试问：
(1)表中给出的解是否为最优解？请用位势法进行 检验。
答：是最优解。
习题3.10的解答
食品厂 面粉厂
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 销量
1
3 15 4
8 15
2
10 5 11 20 11 25
3
20 2 8 4
20
4
0 10 0
0 10
产量
20 30 20
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第三章习题解答
3.11 表3-36示出一个运输问题及它的一个解：
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表3-35
食品厂
面粉厂
1
2
3
产量
Ⅰ
3 10
2 20
Ⅱ
4 11
8 30
Ⅲ
8 11
4 20
销量
15 25 20
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第三章习题解答
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3.3 试对给出运输问题初始基可行解的西北角法、 最小元素法和Vogel法进行比较，分析给出的解之质量 不同的原因。
解：用西北角法可以快速得到初始解，但是由于 没有考虑运输价格，效果不好；最小元素法从最小的 运输价格入手，一开始效果很好，但是到了最后因选 择余地较少效果不好； Vogel法从产地和销地运价的 级差来考虑问题，总体效果很好，但是方法较复杂。
B2
B3
B4 产量
A1 A2 A3 销量
4 51 34
68
61
2
5 20 8
3
7 35 11 4
6
5
6
3
20
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销地
产地
B1
表3-33
B2
B3
B4 产量
A1 A2 A3 销量
9 33
8
73
14
9 24
53
b1= b2= b3＝0，b4＝30，b5＝20 Q＝50 下面就是相应的模型：
MIN Z= 4 X(1,1)+ 5 X(1,2)+ 3 X(1,3)+ 2 X(1,4)+ 100X(1, 5) + 5 X(2,1)+ X(2,2)+2 X(2,3)+100 X(2,4) + 4 X(2, 5) + 3 X(3,1)+2X(3,2)+3 X(3,3)+5 X(3, 4) + 5 X( 3, 5) + 2 X(4,1)+100X(4,2)+5 X(4,3)+ 3 X(4,4)+6 X( 4, 5) + 100X(5,1)+4X(5,2)+5X(5,3)+6 X( 5, 4) +5 X( 5, 5)
cij (ui v j ) 0 i 1,2, m; j 1,2, , n
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第三章习题解答
由于方程有m+n-1个， 而变量有m+n个。所以上 面的方程有无穷多个解。任意确定一个变量的值都可 以通过方程求出一个解。然后再利用这个解就可以求 出非基变量的检验数了。
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第三章习题解答
2]-X(1,1) + X(1,2) + X(1,3) + X(1,4) + X(1,5) = 10 3] X(2,1) - X(2,2) + X(2,3) + X(2,4) + X(2,5) = 40 4] X(3,1) + X(3,2) - X(3,3) + X(3,4) + X(3,5) = 0 5] X(4,1) + X(4,2) + X(4,3) - X(4,4) + X(4,5) = 0 6] X(5,1) + X(5,2) + X(5,3) + X(5,4) - X(5,5) = 0 7]-X(1,1) + X(2,1) + X(3,1) + X(4,1) + X(5,1) = 0 8] X(1,2) - X(2,2) + X(3,2) + X(4,2) + X(5,2) = 0 9] X(1,3) + X(2,3) - X(3,3) + X(4,3) + X(5,3) = 0 10]X(1,4) + X(2,4) + X(3,4) - X(4,4) + X(5,4) = 30 11]X(1,5) + X(2,5) + X(3,5) + X(4,5) - X(5,5) = 20
5
7