国际机械工程与力学会议记录 2007年11月，中国江苏省无锡市汽车曲轴扭振理论分析S. Mahjob, S. J. Seydalian, M. HeidariDepartment of Mechanical Engineering, Imam Hossein University, Babai superhighway, Tehran, Iran E-mail: j.seadalian@摘要：汽车曲轴受到因气缸周期性冲击而产生的周期波动的扭矩的作用。

气压力和因往复质量而产生的惯性力构成了作用于曲轴组的激发力矩。

这些力对曲轴产生交替变化的力矩，从而导致发动机的振动，进而引起汽车产生振动和噪声。

尽管大多数的物理结构都是连续的，但是通常可以通过离散参数模型来表示它们的运动。

这篇论文系统分析了曲轴扭转振动对发动机转速的影响。

共有五种理论分析模型，分别为5自由度、6自由度、17自由度和21自由度。

扭转振动分析被用来确定系统的自由振动频率。

自由度的范围从5到21。

不同模型的分析结果与实验模型比较，从而获得最佳模型。

通过用最佳的理论模型代替实验模型并且提高发动机转速，发现在不同速度下理论模型的性能和实验模型很接近。

1. 简介：研究机械结构的动态特性定义为模态分析。

这篇论文介绍了曲轴扭振对发动机性能的影响。

并建立的数学模型模拟曲轴的振动。

这个模型包括5、6、17、19和21自由度的曲轴。

论文中分析和测试的曲轴为RENALT 曲轴。

不同模型的实验结果非常吻合。

有限元分析是另外一种分析方法，结合了质量和刚度矩阵，主要用来做敏感性分析和动态行为的预测。

但是考虑到结构的复杂性，往往结构的实际性能与分析结果存在一定误差。

理论分析的方法比较复杂，但是它为下一步分析提供了一个逻辑和方法。

[这在本文中有详细说明。

2. 理论方法固有频率和振型由以下方程决定：单位矩阵I 、质量矩阵M 、特征值λ、刚度矩阵K 、固有频率ω、特征向量X}0{]][[}]{[..=+θθK M (1) 振型: 0}]{[1=--i i X M λ (2)固有频率: 02=-i M K ω ⇒00121=-⇒=---i i K M I K M λω (3)图1 曲轴图1中的曲轴分为17个部分，其中b,m,t 分别代表摇臂、曲柄和主轴。

为了得到K 和M 首先应该确定等效长度。

通过B.E.C.E.R.A 方程求取等效长度。

2.1 确定等效长度在B.E.C.E.R.A 方程中的等效直径为曲轴主轴直径 主轴和曲柄的等效长度通过以下方程计算：444et t t e t d D D L L -= ， φInterior d t : (4) 444em mm e m d D D L L -= ， φInerior m :d (5) 摇臂的等效长度通过以下方程计算:⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆+∆+∆+∆+=t e t e t e t e t e te t D L D L D L D L D L D L D L 543210eb (6)方程（6）中的直径通过以下步骤计算：I. 通过方程（7）确定等效宽度：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=3min 3max311211B B b e （7）图2. 等效宽度II. 通过方程（8）和各自的示意图确定等效宽度，其中R 为曲柄半径，e l 是摇臂长度。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=33m 0e :eeb e t t B L RD R R R R c D L （8）III. 通过方程（9） 确定修正项t D L 1e ，方程（10）确定调整项tD L2e ，方程（11）确定空效应项t D L 3e ，方程（12）确定切口效应项t D L 4e ，方程（13）确定tD L5e ，并通过各自的示意图计算。

⎪⎩⎪⎨⎧∆331:eet e D B cD L （9）⎪⎩⎪⎨⎧∆332:ee t e D B cD L （10） ⎪⎩⎪⎨⎧∆Ra c D L te :3 (11) 334⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=∆t e t ef m e m ef t e D D D L D D D L D L (12) 335⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=∆t e t ef m e m ef t e D D D L D D D L D L2.2 确定等效刚度刚度矩阵由以下公式计算：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+=rad m E D J m N E G t 442785.8321073.6π ，rad mN L L GJ K e e 59561== 例如摇臂2的刚度为：6288.1325.46595612+=-==E E L GJ K eb 2.3 确定转动惯量曲轴的转动惯量分别由曲柄的转动惯量、主轴的转动惯量和摇臂的转动惯量组成。

计算曲轴的转动惯量时，分别计算这三者的转动惯量然后相加即可。

具体计算步骤如下： a) 曲柄的转动惯量的计算：图3. 曲柄模型⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22484R D D L J m m m m ρπ(14) 油槽：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2222'16164R h h J mφρφπ（15） b) 主轴的转动惯量的计算：图4. 主轴模型 432t t t D L J ρπ=（16）油槽：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=222'2348h h J t φρφπ（17） c) 因为摇臂复杂的外形结构，分析法计算摇臂的转动惯量很困难。

因此，通过SOLIDWORKS 软件计算摇臂的转动惯量，计算结果见表 1.3. 曲轴的模拟仿真3.1 5自由度模型的扭振为了确定5自由度曲轴模型的扭转固有频率，将曲轴分为5个圆盘部分和4个连接部分如图5、图6所示：图5. 曲轴模型（5自由度）图6. 数学模型（5自由度） 调节系统方程为：)0(*0000000000*000000000000000005432145454545343434342323232312121212..5..4..3..2..154321=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--+--+--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθθθθθθθθθk k k k k k k k k k k k k k k k J J J J J 表一 （18）通过求解这个系统的方程可以确定曲轴的固有频率。

一介频率为0Hz,因为此时曲轴整体以一个刚体运动个质量块的刚度和质量矩阵由以下方程计算。

固有频率和振型通过MA TLAB 软件计算。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t b b m tv b b m t b b m t t b b m td k k k k k k k k k k k k k k k k k k *211111/1k 1111/1k 1111/1k *211111/1k 8745653443232112 （19）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=++++=++++=2222m8tv 576m 454m 332m 2m1td 1活塞飞轮活塞活塞活塞活塞皮带轮I I I I I I II I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I b b b t b b t b b t b （20）3.2 6自由度模型的扭振为了就算6自由度曲轴模型的扭转固有频率，曲轴如图7分割为若干块：图7. 曲轴模型（6自由度）调节系统方程为：)0(*k k 0000k k k k 0000k k k k -0000k -k k k 0000k k k k -0000k -k *0000000000000000000000000000006543215656565645454545343434342323232312121212..6..5..4..3..2..1654321=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--++--++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθθθθθθθθθθθJ J J J J J （21）名称等效长度 L(mm) 刚度 K （rad N /m ⋅）刚度I （kg ⋅2m ）d t186.53 0.3194E+6 0.2294E-3 t24 2.48E+6 0.140E-3 v t38.861.53E+60.520E-3各质量块的刚度矩阵和质量矩阵为：以下的方程、固有频率和振型用MA TLAB 软件计算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=tv b m t b b m t b b m t b b m b td k k k k k k k k k k k k k k k k k k 11*21/1k 1111/1k 1111/1k 1111/1k *2111/1k 856764554343223m 112 （22）m 42.81 1.39E+6 0.640E-3 1b 35.02 1.71E+6 2.608E-3 2b46.25 1.28E+6 0.577E-3 3b46.25 1.28E+6 0.577E-3 4b36.30 1.64E+6 2.595E-3 5b 36.30 1.64E+6 2.590E-3 6b 38.86 1.54E+6 0.653E-3 7b 38.86 1.54E+6 0.647E-3 8b33.55 1.70E+6 2.771E-3 活塞与连杆 --- --- 1.490E-3 飞轮 --- --- 58.360E-3 附件 --- --- 29.500E-3 皮带轮------1.417E-3⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++++=++++=++++=++++=+=4-7723.0-4-43012.1-tv 687m 565m 443m 321m 2td 1E I I I I II I I I I I I I I I I II I I I I I I I I I I E I I I b b t b b t b b t b b t 附件飞轮活塞活塞活塞活塞皮带轮 （23） 3.3 17、19和21自由度模型的扭振为了计算17、19和21自由度模型的扭转固有频率，曲轴分为如图8、9、10所示的若干块：图8. 曲轴模型（17自由度）图9. 曲轴模型（19自由度）图10. 曲轴模型（21自由度）表2. MATLAB 计算结果4. 模态实验4.1 完成实验性的模态实验发动机的扭振在特定的转速范围内，这里只有做在特定转速范围之内的扭振实验。