2013年计量经济学第二次作业答案（chap3-4）Part 1：教材课后习题 第三章3.5 在调查一项大学GPA 与在各项活动中所耗费的时间之关系的研究中，你对几个学生分发了调查问卷。

学生被问到他们每周在学习、睡觉、工作和闲暇这四种活动中各花多少小时。

任何活动都被列为这四种活动之一。

所以对每个学生来说这四个活动的小时数之和都是168. (i) 在模型01234GPA study sleep work leisure u βββββ=+++++中，保持sleep 、work 和leisure 不变而改变study 是否有意义？没有意义。

通过定义，有study + sleep + work + leisure = 168，因此如果改变study ，我们必须改变sleep 、work 和leisure 中的至少一个变量，以满足它们的和为168。

(ii) 解释为什么这个模型违背了MLR.3？通过第(i)部分的分析，study 是其余几个解释变量的线性组合，也就是：study = 168 - sleep - work - leisure ，这意味着变量之间存在着完全的线性关系，因此违背MLR.3。

(iii) 你如何才能将这个模型重新表述，使得它的参数具有一个有用的解释，而又不违背假定MLR.3？只需要删除其中一个解释变量就可以了，比如删除leisure ，建立模型：GP A =0β + 1βstudy + 2βsleep + 3βwork + u .此时，参数1β可以解释为保持sleep , work , 和u 不变，当study 增加一个小时，GPA 的改变。

3.6 考虑含有三个自变量的多元回归模型，并满足假定MLR.1~MLR.4，0112233y x x x u ββββ=++++对1x 和2x 的系数之和感兴趣，记12θββ=+。

(i) 证明12ˆˆˆθββ=+是θ的一个无偏估计量。

()()()()121212ˆˆˆˆˆE X E X E X E X θββββββ=+=+=+ ()()ˆˆE E E X θθθ⎡⎤==⎣⎦ (ii) 在给定自变量样本的条件下，用()1ˆVar β、()2ˆVar β和()12ˆˆ,Cov ββ表示()ˆVar θ。

()()()()1212ˆˆˆˆˆ,Var X Var X Var X Cov X θββββ=++3.11 假设决定y 的总体模型是0112233y x x x u ββββ=++++模型满足假定MLR.1~MLR.4。

但是实际估计的是遗漏3x 的模型。

令0β，1β和2β为y 对1x 和2x 回归的OLS 估计量。

证明1β的条件期望是：()131113211ˆ|ˆni i i ni i r x E X r βββ===+∑∑其中1ˆi r是1x 对2x 回归所得到的OLS 残差，X 表示自变量样本的集合。

证明：从方程(3.22)，有111211ˆ,ˆni ii ni i r yr β===∑∑将i y 代入上式，有()1011223311211ˆ.ˆni i i i ii ni i r x x x u r βββββ==++++=∑∑由于1ˆi r是1i x 关于2i x 回归的残差，有 11ˆni i r =∑ = 0,121ˆni i i r x=∑ = 0, 和111ˆni i i r x=∑ =211ˆni i r =∑，于是，上式中的分子可以写成： 2113131111ˆˆˆ.n n ni i i i i i i i rr x r u ββ===++∑∑∑ 于是，有13111113221111ˆˆˆˆnni i i ii i nni i i i r x r ur r βββ=====++∑∑∑∑从而可以证明()131113211ˆ|ˆni i i ni i r x E X r βββ===+∑∑3.13(i) 在前4个高斯-马尔可夫假定之下，考虑简单回归模型01y x u ββ=++。

对某个函数()g x ，比如()2g x x =或()()log 1g x x =+，定义()i i z g x =。

定义一个斜率估计量为：()()111niii niii z z yz z xβ==-=-∑∑证明1β是线性无偏的。

证明：为简化符号，定义1()nzx iii s z z x ==-∑，于是11().niii zxz z ys β=-=∑显然这个表达式是i y 的线性函数，权重为()i i zx w z z s =-。

为证明无偏性，代入i y 的表达式：111011111()()()()()nii i i zxnni zx i ii i zxniii zxz z x u s z z s z z u s z z us ββββββ====-++=-++-=-=+∑∑∑∑1111()E()E()niii zxz z uX X s βββ=-=+=∑(ii) 增加同方差假定MLR.5，证明，在给定自变量样本的条件下，()()()221121ni i ni i i z z Var X z z x σβ==-=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑∑证明：()()()()()()()21112222211221n n i i ii i i zx zx nni i i i n zxii i z z u z z Var u X Var X Var X s s z z z z sz z x βσσ=====⎛⎫-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭--==⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑(iii) 在高斯-马尔可夫假定下，证明在给定自变量样本的条件下，()()11ˆVar X Var X ββ≤ 其中1ˆβ是OLS 估计量。

提示：附录B 中的柯西-施瓦兹不等式意味着：()()()()222111111n n ni i i i i i i z z x x z z x x n n n ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤--≤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑证明：因为()()2121ˆni i Var X x x σβ==-∑重新组织上述柯西-施瓦兹不等式的形式，有()()()()2122111ni i nnii i i i z z x x z z x x ===-≥⎡⎤---⎢⎥⎣⎦∑∑∑由于()()()11nniiiii i z z x x z z x ==--=-∑∑，于是，有()()2221221nii nzxii z z s x x σσ==-≥-∑∑于是，证明了在给定自变量样本的条件下，()()11ˆVar X Var X ββ≤。

第四章4.3 变量int rd ens 是研发支出（R&D ）占销售额的百分比，销售额以百万美元度量，变量arg profm 是利润占销售额的百分比。

利用RDCHEM 中32家化工企业的数据，估计如下方程：()()()()2int 0.4720.321log 0.050arg1.3690.2160.04632,0.099rd ens sales profm n R =++==(i) 解释()log sales 的系数。

特别地，如果sales 增加10%，估计int rd ens 会变化多少个百分点？这在经济上是一个很大的影响吗？rdintens ∆ =.321 ∆log(sales ) = (.321/100)[100log()sales ⋅∆] ≈ .00321(%∆sales ).于是，如果%∆sales = 10, rdintens ∆ ≈ .032, 也就是说大约增加3/100。

对于这么大的销售额比例的增加，int rd ens 增加的比例相对而言是很小的。

(ii) 检验假设R&D 的强度不随sales 而变化，备择假设是：R&D 的强度随着销售额的增加而提高。

在5%和10%的显著性水平上进行这个检验。

H 0:1β = 0；H 1:1β > 0, 其中1β是log(sales )的系数。

相应的t 统计量的值为.321/.216 ≈ 1.486，而对于自由度为df = 32 – 3 = 29的t 统计量，单侧检验的水平为5%的临界值为1.699，因此在5%的显著性水平上，不能拒绝H 0；但是同样t 分布的10%的显著性水平下的单侧检验临界值为1.311，因此在10%的显著性水平上，拒绝H 0。

(iii) 解释arg profm 的系数，它在经济上显著吗？由于arg profm 和int rd ens 都是比例值，arg profm 系数估计值为0.050，意味着arg profm 增加一个百分点，int rd ens 增加0.05个百分点，这在经济上不是一个很显著的数值。

(iv) arg profm 对int rd ens 是否有统计显著影响？统计上arg profm 对int rd ens 的影响也不显著。

因为其检验的t 值仅为1.087，即使是10%显著性水平的单侧检验，也不足以拒绝其为零的假设。

4.6 采用数据的水平值考虑住房价格的模型，检验住房定价是否理性。

(i) 对于简单回归模型01price assess u ββ=++如果00β=和11β=，则住房定价是理性的。

估计的方程为：()()214.470.976,88,165644.51,0.82016.270.049price assess n SSR R =-+===首先，对双侧对立假设，检验00:0H β=。

然后，对双侧对立假设，检验01:1H β=。

你得出什么结论？对于自由度df = n – 2 = 86的t 统计量，5%显著性水平下，双侧检验的临界值为1.988。

对于H 0:0β = 0的t 检验统计量的值为-0.89，因此我们不能拒绝0β = 0；对H 0: 1β = 1的t检验统计量的值为(.976 – 1)/.049 ≈ -.49，因此也不能拒绝零假设1β = 1。

(ii) 为了检验联合假设00β=和11β=，我们需要约束模型的SSR 。

在88n =的情况下计算()21niii price assess =-∑，即为约束模型的残差平方和，得到209448.99SSR =。

对这个联合假设进行检验。

采用F 检验：约束残差平方和SSR r = 209,448.99，无约束残差平方和SSR ur = 165,644.51，独立约束个数为2，因此F 统计量的分子、分母自由度分别为2，86：(209,448.99165,644.51)8611.37,165,644.512F -⎛⎫=⋅≈ ⎪⎝⎭相应的F 分布的1%显著性水平下的检验临界值为4.86，远小于F 统计值11.37，因此我们有很强的证据明拒绝零假设。