一、基本知识点1，导数：当x ∆趋近于零时，x x f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数C 。

可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。

函数在x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。

即x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000'2，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。

即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((00'0x x x f y y -=-，如果曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为x x =，故过点),(00y x P 的切线的方程为：))((00'0x x x f y y -=-3，导数的四则运算法则：（1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± （2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='（3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡4，几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（ (3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -=' (5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a x x ln )(=' 5，函数的单调性：在某个区间),(b a 内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)('<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减。

6，函数的极值求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．7，函数的最大值和最小值（1）设)(x f y =是定义在区间[]b a ,上的函数，)(x f y =在),(b a 内有导数，求函数)(x f y =在[]b a ,上的最大值与最小值，可分两步进行：()1求)(x f y =在),(b a 内的极值；()2将)(x f y =在各极值点的极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值；（2）若函数)(x f 在[]b a ,上单调增加，则)(a f 为函数的最小值，)(b f 为函数的最大值；若函数)(x f 在[]b a ,上单调递减，则)(a f 为函数的最大值，)(b f 为函数的最小值. 注意：（1）在求函数的极值时，应注意：使导函数)(x f '取值为0的点可能是它的极值点，也可能不是极值点。

例如函数3)(x x f =的导数23)(x x f ='，在点0=x 处有0)0(='f ，即点0=x 是3)(x x f =的驻点，但从)(x f 在()+∞∞-,上为增函数可知，点0=x 不是)(x f 的极值点.（2）在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值，然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个点使得导函数为0，那么立即可以断定在这个点处的函数值就是最大（小）值。

（3）极大（小）值与最大（小）值的区别与联系。

8，定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…x i －1<x i <…＜x n ＝b ，将区间 [a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x 。

即⎰badx )x (f =)(f nab lim i n1i n ξ-∑=∞→。

注：在⎠⎛a b f (x )d x 中中f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量， f(x) dx 叫做被积式，b ，a分别叫做积分上限和下限，区间[a,b]叫做积分区间。

9，曲边梯形：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形。

根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[]a b ，上的定积分，即()ba S f x dx =⎰。

求曲边梯形面积的四个步骤：第一步：分割．在区间[]a b ，中插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1i i x x -， ()12i n =，，，，区间[]1i i x x -，的长度1i i i x x x -∆=-；第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值；第三步：求和； 第四步：取极限。

10，定积分的几何意义： ⎰ba dx )x (f 表示介于x 轴,曲线y=f(x)，与直线x=a,x=b 之间部分的曲边梯形面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号。

如下图（1）（2）：11，微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)：如果()()F x f x '=，且()f x 在[,]a b 上可积，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰，其中()F x 叫做()f x 的一个原函数。

由于[()]()F xc f x '+=，()F x c +也是()f x 的原函数，其中c 为常数． 一般地，原函数在[,]a b 上的改变量()()F b F a -简记作()b a F x ， 因此，微积分基本定理可以写成形式：()()()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰． 12，定积分的性质:①⎰⎰=babadx )x (f k dx )x (kf ,(其中k 为常数)；②⎰⎰⎰±=±bab ab adx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [；③⎰⎰⎰+=bcc ab adx )x (f dx )x (f dx )x (f (其中a<b<c)。

13，利用函数的奇偶性求定积分:若f(x)是[-a,a]上的奇函数,则0dx )x (f aa=⎰-;若f(x)是[-a,a]上的偶函数,则⎰⎰=-aaadx )x (f 2dx )x (f .14，定积分的求法：①定义法(用微分思想求曲边梯形的面积，分割、近似代替、求和、取极限)；②牛顿-莱布尼兹公式法；③几何意义法:若y=f(x) 、x 轴与直线x=a,x=b 之间的各部分区域是可求面积的规则图形，则可直接求其面积；④利用奇、偶函数的性质求。

二、经典例题练习1，若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+-- 的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x -D ．0 2，若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim 000--→等于 。

3，已知曲线m x y +=331的一条切线方程是44y x =-，则m 的值为（ ） .A 43 .B 283- .C 43或283- .D 23或133- 4，若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 A ．B ．C ．D ．5，已知函数2)12()(23+-+=x a ax x f ，若1-=x 是)(x f y =的一个极值点，则a 值为（ ）A ．2 B.-2 C.72D.4 6，已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值为10，则)2(f =7，已知直线1l 为曲线2)(3-+=x x x f 在点（1，0）处的切线，直线2l 为该曲线的另一条切线，且2l 的斜率为1.()1求直线1l 、2l 的方程；()2求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形面积。

8，已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值. ()1讨论(1)f 和(1)f -函数的()f x 的极大值还是极小值；()2过点(0,16)A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程.9，已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围； 10，已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝32-与x ＝1时都取得极值 （1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间（2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）＜c 2恒成立，求c 的取值范围。

11，甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？三、专题测试一、选择题（每小题4分, 共48分）1．设函数()y f x =可导，则0(1)(1)lim 3x f x f x∆→+∆-∆等于（ ）．A ．'(1)fB ．3'(1)fC ．1'(1)3f D ．以上都不对2．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒3．若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）．A 336 B ．336 C ．23 D ．23或04．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件CDBA5．设'()f x 是函数()f x 的导数，'()y f x =()y f x =的图像最有可 能的是（ ）．6．函数3()2f x x ax =+-在区间[1,)+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．[3,)+∞B ．[3,)-+∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞- 7．函数xxy ln =的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ．310 8．由直线21=x ，2=x ，曲线x y 1=及x 轴所围图形的面积是（ ）． A. 415 B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 29．函数3()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则（ ）．A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b < 10．21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a 的值为（ ）．A ．18 B ．14 C ．12D ．1 11．将和式的极限)0(.......321lim1>+++++∞→p n n P pp p p n 表示成定积分 （ ）A ．dx x ⎰101B ．dx x p ⎰1C ．dx x p ⎰10)1(D ．dx n x p⎰10)(12．下列等于1的积分是（ ）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+1)1(C ．dx ⎰101D ．dx ⎰1021二、填空题（每小题4分，共16分） 13．dx x |4|12⎰-=14．由定积分的几何意义可知dx x ⎰--2224=___________．CD'()f x15. 如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去 四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为 时，盒子容积最大.16. 函数432()41f x x x ax =-+-在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减，则a = . 三、解答题17．（12分）计算下列定积分的值（1）⎰--312)4(dx x x ；（2）⎰-215)1(dx x ；（3）dx x x ⎰+2)sin (π；（4）dx x ⎰-222cos ππ；18．（本题10分）已知1x >，求证：ln(1)x x >+．19. （本题10分）已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的极值。