t
8
x
(
t
)
k
xke
jk 0t
0
2 T
x(t)
1
2
Txk e jk0t
k
0
T
xk
1 T
T
2 T
x(t)ejk0t
2
2 T
x
(t)
2
x(t)
Txk
x(t)ejk0tdt
Dx e(ftin)e X : (21 jk) X ( jx k(t0 ))eX ej(jk jt0d t)te 20jt|k0xXk(jT1)X面(k积j0) Xk(j0k30T1)XT(xjkk0)
2
4.0 引言 Introduction
在工程应用中有相当广泛的信号是非周期 信号，对非周期信号应该如何进行分解，什 么是非周期信号的频谱表示，就是这一章要 解决的问题。
3
在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋 于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信 号；反过来，任何非周期信号如果进行周期性 延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非 周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时 的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在 T趋 于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期 信号的频域表示方法。
2 0
0
4 0 a k
0
(a) T 4T1
4 0
(b) T 8T1
当 T 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周 期的单个矩形脉冲信号。
7
Periodic signal
x (t)
(周期信号)
2T
T T 0 T T
2
2
x (t) Aperiodic signal
T （非周期信号）
0
0
2 T
2T t
x(t) x(t)
0
d
X(jk0)ej0t
x(t)21 X(j)ejtd1
0
2 T
0
k 0
9
Chapter 4
Fourier Transform
Fourier Transform Pair 傅里叶变换对
factor
xt21 Xjejtd Xjxtejtdt
Synthesis equation
B
B
1
1
2B
2B
B
B
f
<Proof>
1
x(t)21 X(j)ejtd
1
2
Bejtd 1
B
2
1 jt
Bdejt
B
1
t
1 2j
e
jt
|BB
1
t
1 (ejBt 2j
ejBt)
sin
Bt t
17
Examples for getting xk : using 3
Signals and Systems
A.V. OPPENHEIM, et al.
Ch4 The Continuous-Time Fourier
Transform
第4章 连续时间傅立叶变换
1
本章的主要内容: 1. 连续时间傅立叶变换; 2. 傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系; 3. 傅立叶变换的性质; 4. 系统的频率响应及系统的频域分析；
我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期 T 增大时，频谱的幅度随 T 的增大而下降；谱线 间隔随 T 的增大而减小；但频谱的包络不变。 再次考察周期性矩形脉冲的频谱图：
5
Periodic signal (周期信号)
T
Aperiodic signal （非周期信号）
-T1 T 1
6
（a） （b）
2 0 a k
0
e(ja)tdt
0
1 e(ja)t
ja
|0
1 j a
a0
X(j) 1 ; 2 a2
X(j)tan1()
a
12
X(j) 1 a2 2
X ( j )
1/a
2 2a
a 0 a
X(j)tg-1
a
X ( j)
2
a
a
2
13
4.2 . x(t)eat, a0
x (t)
X(j) 0 eatejtdt eatejtdt
激响应 h ( t ) 才能完全描述一个LTI系统的特性， ( t )
才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。 15
<4.4>
矩形脉冲:
x (t ) 1 , t T1 0 , t T1
x (t)
1
2 T 1 X ( j)
F
2f
T1 T 1
t
T1
T1
( 1 2T1) ( 1 2 T1 )
(f)
0
others
akT 1X jk0T 1X jk 0
The Fourier coefficients a k of x~tare proportional
to samples of the Fourier transform of one period of x~t 周期信号x~t的 傅里叶变换系数可以用1ja22a2
0
X(j) X(j)
X(j)0
2
X ( j )
1a
a
a
a
14
4.3 . x(t) (t)
x (t)
1
F
X ( j)
1
0
t
<Proof>
0
2
X(j
) x(t)ejtdt
(t)ejtdt
ej0
1
这表明 ( t ) 中包括了所有的频率成分，且所有频
率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲
X(j )x(t)ejtdt T1 e jtdt 1 T1 dejt
T1
j T1
2
1 2j
e jt
|T1
T1
2 1 (ejT1 ejT1)
2j
2 sin T1
16
<4.5> x(t)si ntBt F 1 X(j) 1 0,,
||B ||B
B
x (t)
X ( j)
F
1
2 f
t
4
4.1 Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform
非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换
1. Development of the Fourier Transform from Fourier Series 从傅立叶级数到傅立叶变换
综合公式
Analysis equation
分析公式
Xj ——Spectrum（频谱） of xt
xt F X j
10
Chapter 4
Fourier Transform
Consider a periodic signal x ~tT x ~t
考虑周期信号
Defining xt x ~t t0tt0T
傅里叶变换的等间隔样本来表示
11
4.1.3 Examples of Fourier Transform
x (t)
( Basic Fourier Transform Pairs used later)
1
4.1
x(t)eatu(t), a0
t
0
X(j )x(t)ejtdt eatu(t)ejtdt eatejtdt