实数知识点一：无理数1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数． 注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数． （2）圆周率π及一些含π的数是无理数． （3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数；3、判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．4等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．二、知识点+例题+练习一、无理数的判断1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可．2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数． 【例1】0；3227；1.1010010001…，无理数的个数是 A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】因为02273π；1.1010010001…是无限不循环小数，所以无理数有3个，故选C ．【变式训练1-1】在，–2018，π这四个数中，无理数是A ．B ．–2018CD ．Π【答案】D1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数．2、实数的分类： （1）实数按定义分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数( 2 )按正负分类：227227例题精讲二、实数的概念和分类1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏．2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类．【例1】在5π131401232，，，.，，----中，其中__________是整数，__________是无理数，__________是有理数.【答案】01-；π5131401322，，；，，.，---- 【例2】将这些数按要求填入下列集合中：0.01001001…，4，122-，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|负数集合｛ …｝；分数集合｛…｝；非负整数集合｛…｝；无理数集合｛…｝．【解析】负数集合｛122-，-1，-|-5| 分数集合｛122-，3.2…｝； 非负整数集合｛4，0，-（-5）…｝；无理数集合｛0.01001001…，【变式训练2-1】判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ） （2）0属于正实数．（ ）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1．（ ）（5）若x =x =（ ）【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√．【变式训练2-2】下列说法错误的是（ ）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对 D【答案】D【变式训练2-3】下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数【答案】A【变式训练2-4】 把下列各数填入相应的集合：－1、π、 3.14-、12、7.0、0（1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）整数集合｛ ｝； （4）正实数集合｛ ｝； （5）负实数集合｛ ｝．【答案】（1）－1 3.14-、12、7.0、0（2-、（3）－10；（4、π、127.0 ；（5）－1、 3.14-、（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小．一、相反数与绝对值求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值的意义是一样的，实数a 的相反数是-a ，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【例1的相反数是A ．BC ．D 【答案】A【解析】根据相反数的定义可知：2的相反数是2-，故选A ． 【例2】3-π的绝对值是 A ．3-π B ．π-3 C ．3 D ．π【答案】B【解析】∵3−π<0，∴|3−π|=π−3，故选B ．【例3】 A ．相反数 B ．倒数 C ．绝对值 D ．算术平方根【答案】A【解析】A ．【变式训练3-1的相反数是________；的倒数是________；35-的绝对值是________．【答案】【变式训练3-2】3.141π-＝______；=-|2332|______．【答案】-3.141π；【变式训练3-3】若||x =x ＝______；若||1x ，则x ＝______．【答案】1或11 实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点． 2、两个实数比较大小：1．数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大；2．正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小．【例1】如图，数轴上点P 表示的数可能是AB ．C ．–3.2D ．【答案】B≈2.65 3.16，设点P 表示的实数为x ，由数轴可知，–3<x <–2，∴符合题意的数为．故选B ．【例2】和数轴上的点成一一对应关系的数是A ．自然数B ．有理数C ．无理数D ．实数【答案】D【解析】数轴上的点不仅表示有理数，还表示所有的无理数，即实数与数轴上得点是一一对应的，故选D ．【例3】已知实数m 、n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是A ．m <0B ．n ＞0C ．n ＞mD ．n <m【答案】D【解析】由数轴上的点，得m <0<n ，所以m <0，n ＞0，n ＞m 都正确，即选项A ，B ，C 判断正确，选项D 判断错误．故选D ．【变式训练4-1】已知数轴上A 、B 两点表示的数分别为–3A 、B 间的距离为__________． 【解析】A 、B 两点表示的数分别为–3和A 、B 间的距离为3），故答案为：．【变式训练4-2】如图，点A 、B 、C 在数轴上，O 为原点，且BO ：OC ：CA =2：1：5． （1）如果点C 表示的数是x ，请直接写出点A 、B 表示的数； （2）如果点A 表示的数比点C 表示的数两倍还大4，求线段AB 的长．【解析】（1）∵BO ：OC ：CA =2：1：5，点C 表示的数是x ， ∴点A 、B 表示的数分别为：6x ，–2x ；（2）设点C 表示的数是y ，则点A 表示的数为6y ， 由题意得，6y =2y +4， 解得：y =1，∴点C 表示的数是1，点A 表示的数是6，点B 表示的数是–2， ∴AB =8． 二、比较大小【例4】 ） A ．7～8之间 B ．8.0～8.5之间 C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间【答案】C【例5】 实数2.6 （ ）A ．2.6<<B ．2.6C 2.6<D 2.6<【答案】B【变式训练4-3】一个正方体水晶砖，体积为1002cm ，它的棱长大约在 （ ） A ．4～5cm 之间 B ．5～6cm 之间 C ．6～7cm 之间 D ．7～8cm 之间【答案】A【变式训练4-4】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1．414，π，0.6， ，34-，【答案】314 1.4140.64543π>>>>>>->-．1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用．2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算． 【例1】计算下列各式：（1）221．【解析】（1=-．（2）原式21=1=．【变式训练5-1】计算题（1）32716949+- （2） 233)32(1000216-++【解析】（1）32716949+-71333=-+=-； （2）233)32(1000216-++226101633=++=． 【答案】（1）3-；（2）2163．1．在下列实数中，属于无理数的是 A ．0BC ．3D ．2．在每两个1之间依次多一个中，无理数的个数是 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3的值在 A ．0和1之间B ．1和2之间C ．2和3之间D ．3和4之间4．下列四个数中，最小的一个数是 A ．5的绝对值是A ．3B ．6．下列说法中，正确的个数有 ①不带根号的数都是有理数； ②无限小数都是无理数；③任何实数都可以进行开立方运算；1313.140.231.131331333133331(3π-，，，，……3)B 3-．C -．D π-．3-1C 3．1D 3-．④不是分数． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．下列各组数中互为相反数的一组是 A ．-|-2|B ．-4与C ．与D ．8．如图，数轴上点P 表示的数可能是AB．C ． 3.4-D．92-的相反数是__________，绝对值是__________． 10．计算：+-=__________．11__________． 12=__________（=__________． 13．把下列各数填入相应的集合内：4230.15，-7.5，-π，0，23.． ①有理数集合：｛ …｝； ②无理数集合：｛ …｝； ③正实数集合：｛ …｝； ④负实数集合：｛…｝．14．已知：x 是|-3|的相反数，y 是-2的绝对值，求2x 2-y 2的值．515．已知ab的小数部分，|c，求a -b +c 的值．16．已知5的小数部分分别是a 、b，则（a +b ）（a–b ）=__________．17．6的整数部分是a ，小数部分是b ．（1）a =__________，b=__________．（2）求3a –b 的值．18．如图，点A ，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B 所表示的数为n ．（1）求n的值；（2）求|n +1|+（n –2）的值．答案：1．【答案】B【解析】0、3、是无理数．故选B ． 2．【答案】C【解析】，π，1.131331333133331……（每两个1之间依次多一个3）是无理数，故选C ． 3．【答案】B【解析】∵<2的值在：1和2之间．故选B ．4．【答案】D【解析】∵7<8<9<π2，3<π，∴＞–π，∴最小的一个数是–π．故选D ． 13<<3--5．【答案】A．–3的绝对值是3．故选A．6．【答案】C【解析】①不带根号的数不一定是有理数，如π，错误；②无限不循环小数是无理数，错误；③任何实数都可以进行开立方运算，正确；不是分数，正确；故选C．8．【答案】B【解析】由图可知，P点表示的数在之间，故选B．9．【答案】22；--2-的相反数是2-，绝对值是2-，故答案为：22；--10．【答案】【解析】(35+-=+-，故答案为．11．【答案】【解析】它们互为相反数，分别是故答案为：121）3（1-13-1．3=-13．【解析】有理数集合：｛4，230.15，-7.5，0，23.…｝；，π-…｝；4，230.15，23.…｝； ④负实数集合：｛-7.5，π-…｝．14．【解析】∵x 是|−3|的相反数，∴x 是3的相反数−3，即x =−3．∵y 是−2的绝对值，∴y =2．∴22229414x y -=⨯-=．15．【解析】∵<3，∴a =2，b-2，∵|c，∴c当ca -b +c =4；当c =a -b +c =4-．16．【答案】5【解析】∵与5a 、b ，∴a =（–2，b=（5）–2=3，∴（a+b ）（a –b ）=–2+32–5．故答案为：5．17．【解析】（1）∵，∴<3．∴–23．∴6–2＞66–3，∴4＞63．∴a =3，b =3（2）3a –b =3×3–（3=9–1. 下列命题中，错误的命题个数是（ ）（1）2a -没有平方根； （2）100的算术平方根是10，记作10100=± （3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数； （4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C2. 若22b a =，则下列等式成立的是（ ）A ．33b a =B ．b a =C ．b a =D ． ||||b a =【答案】D3. 已知坐标平面内一点A(2-，3)，将点A A ′的坐标为 ．【答案】(2--四、课后作业4.已知10<<x ，则21x x x x 、、、的大小关系是__________________________（用“>”连接）． 【解析】可以采用特殊值法解题，如14x =．【答案】21x x x>>5.计算:（1（2）2(2)-【解析】（111213333-=- ；（2）2(2)-11433231423=⨯+-⨯=+-=． 【答案】（1） 13- ； （2）4．6.已知一个长方体封闭水箱的容积是1620立方分米，它的长、宽、高的比试5:4:3，则水箱的长、宽、高 各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？【解析】在列方程解应用题时，要注意见比设k 的应用．【答案】长、宽、高各是15分米，12分米，9分米；846平方分米．7.已知实数a ，满足0a =，求11a a -++的值．【解析】0a ，0a a a ∴++=，20a a +=，0a ∴=，112a a -++=【答案】28.先阅读理解，再回答下列问题：，且12<<的整数部分为1；23<2；=34<的整数部分为3；n 为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由．【解析】n2(1)n n n n +=+，又22(1)(1)n n n n <+<+，1n n ∴<+（n 为正整数），∴整数部分为n ．【答案】n9. 计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1（2（3（4（5= ；（6= (0,0)a b ≥≥．【解析】（5（6【答案】（5；（610.若a 为217-的整数部分，1-b 是9的平方根，且a b b a -=-||，求b a +的算术平方根．【解析】161725,45,223,2a <<∴<∴<<∴=，14b b -==或2b =-．又a b b a -=-，b a ∴≥，2,4a b ∴==，．。