? ? x N ?，? 2 ，其中?，? 2为待估参数。因为有两
个待估参数，故需要使用以下两个总体矩条件：
一阶中心矩：E ?x?＝?
? ? 二阶中心矩：E x2 ＝Var ?x?＋??E ?x???2 ＝? 2＋? 2
用对应的样本矩来替代总体矩条件可得以下联立 方程组，求解后即得到期望与方差的矩估计：
秩），则在一定的正则条件下，??IV是? 的一致ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ计 且??IV服从渐近正态分布
证明：抽样误差 ??IV－?＝?Z?X ?－1 Z?y－?
＝?Z?X ?－1 Z??X?＋? ?－?＝?Z?X ?－1 Z??
? ? ＝?? ?
1 n
n i=1
zi
－1
x?i ?? ?
? ? ?
1 n
n i=1
zi?i ??＝S－ZX1 g
以样本矩替代上式中的总体矩，即可得到矩估计：
? ? ? ? ??MM＝?? ?
1 n
n i=1
－1
xix?i ?? ?
?1 ?? n
n xiyi ??＝
i=1
?
X?X
－1 X?y＝??OLS
显然这就是 OLS估计量
2、工具变量法作为一种矩估计 假设回归模型为
yi＝?1xi1＋ ＋? k-1x ? ＋ i，k-1 k xik＋?i
由此可得E ?zi?i ?＝0 ? E ??zi ?yi－x?i? ???＝0 ? E ?zi yi ?＝??E ?zix?i ??? ?
? ?＝??E ?zix?i ???－1 E ?ziyi ? （假定 ??E ?zix?i ???－1 存在）
以样本矩代替上式中的总体矩，即可得到工具变
量估计量：
假设只有最后一个解释变量xik为内生变量，即
Cov ?xik，?i ?? 0，因此OLS是不一致的。
假设有一个有效工具变量w满足Cov ?xik，wi ?? 0 （相关性），以及Cov ?wi，?i ?＝（0 外生性）。由于
x1， ，xk-1不是内生变量，故可以把自己作为自己 的工具变量（因为满足工具变量的两个条件）
违背解释变量外生性假定也可以出现在滞后被解 释变量作为模型解释变量的情况。例如，消费不 仅受收入的影响，还要受到前期消费水平的影响； 投资不仅受GDP的影响，也要受前期投资水平的 影响。当存在扰动项序列相关时，就会造成解释 变量与扰动项相关的情况
一、工具变量法（Instrumental Variable，IV）
? ? 记解释变量向量 xi ? xi1 xi，k-1 xik ?，则原模型为
yi＝x?i? ＋?i
记工具变量向量为
? ? ? ? zi ? zi1 zi，k-1 zik ? ? xi1 xi，k-1 wi ?。
定义gi ? zi?i。由于工具向量与扰动项正交，故
E ?gi ?＝E ?zi?i ?＝0为总体矩条件或正交条件
总体矩。事实上， OLS也是一种矩估计。利用解释
变量与扰动项的正交性，可以得到以下总体矩条件
E?xi?i ?＝0 ? E ??xi ?yi－x?i? ???＝0
? E ?xi yi ?＝E ?xix?i ?? ? ?＝??E ?xix?i ???－1 E ?xiyi ? （假设E ?xixi??可逆）
第七章 工具变量、2SLS、 GMM
OLS估计成为一致估计量的前提是解释变量与扰动
项不相关（即前定变量假设），否则，无论样本容
量多大，OLS估计量也不会收敛到参数真值，这将
难以接受。解决方法之一是本章介绍的工具变量法
复习第三章p34－p38
违背前定变量假设可以出现在联立方程中，比如
? ? ?
Ct＝? 0＋? 1Yt＋?
? ? ? ? ?? n ??IV－? ＝S－ZX1 ng ??d? N 0，AVar ??IV ，其
? ? 中渐近方差矩阵AVar ??IV ＝??E ?zix?i ???－1 S ??E ?zixi????－1
用到??E ?zix?i ???－1 为对称矩阵
秩条件r ??E ?zix?i ???＝k意味着工具变量wi与内生解释
变量xi相关，若不相关，则秩条件无法满足。证略 阶条件：zi中至少包含k个变量 根据是否满足阶条件可分为三种情况：
?1?不可识别：工具变量个数少于内生解释变量个数 ?2?恰好识别：工具变量个数等于内生解释变量个数 ?3?过度识别：工具变量个数多于内生解释变量个数
?
??p?
??E ?zix?i ???－1 E ?gi ?＝0
＝0
? ? 其中SZX
?
1 n
n i=1
z i x?i，g
?
1 n
n i=1
zi?i
与第三章大样本最小二乘法类似的假定和推导，
可以证明，ng ??d? N ?0，S?，
? ? 其中S ? E ?gig?i ?＝E ?i2ziz?i
进一步，工具变量估计量??IV渐近服从正态分布，即
? ? ? ? ??IV＝?? ?
1 n
n i=1
－1
zix?i ?? ?
?1 ?? n
n i=1
ziyi ??＝ ?
Z?X
－1 Z?y
其中，Z ? ?z1 zn-1 zn ?? 即Z?? ?z1 ? zn-1 zn
下面是工具变量法的大样本性质：
定理：若秩条件r ??E ?zix?i ???＝k成立（方阵E ?zix?i ?满
可以引入工具变量 w t 来解决内生变量问题。一个有 效的工具变量应满足以下两个条件： （1）相关性：工具变量与内生解释变量相关，即
Cov ?wt，pt ?? 0，pt为内生解释变量
（2）外生性：工具变量与扰动项不相关，即
Cov ?wt，?t ?＝0
二、工具变量法作为一种矩估计
1、矩估计（ Method of Moments ，MM） 首先以一个例子来说明矩估计方法：假设随机变量
Yt＝Ct＋I t＋X t
t
，Yt、Ct、It、X
t
分别表示GDP、
消费、投资、净出口。将第一个方程代入第二个
方程，经整理可得Yt＝1－1? 1 ?? 0＋It＋Xt ?＋1－?t? 1
可见Yt与?t相关，因此当单独对Ct＝? 0＋? 1Yt＋?t
进行OLS估计时会碰到解释变量与扰动项相关的 情况
?
? ??
? ?
1
? ?? n
1 n
n i=1
xi＝??
n
xi2＝??2＋??2
i=1
?
?
??＝x
? ?
?????2＝
1 n
n i=1
?xi－x ?2
? 其中，x＝ 1 n
n i=1
xi为样本均值，上面推导中用到：
n
n
? ? ?xi－x?2＝ xi2－nx2
i=1
i=1
任何随机向量 x的函数f ?x ?的期望E ??f ?x ???都被称为