zt xt
ut )
1
ztut zt xt
(9.8.7)
(9.8.7)两边取期望值:
(ˆ1)
1
(
ztut zt xt
)
1
所以，ˆ1 不是1 的无偏估计量。
(9.8.7)两边取概率极限：
P lim
ˆ1
1
P lim P lim
1
n 1
n
ztut zt xt
1
COV COV
(zt ,ut) (zt , xt)
1
即
P lim ˆ1 1
表明 ˆ1 是1 的一致估计量。
(9.8.8) (9.8.9)
工具变量法是一种单方程估计方法，每次只适用于 模型中的一个结构方程。 显然，对于多个解释变量的单方程也是适用的。 三、工具变量法的有效性
y1 10 12 y2 1g1 y g1 11 x1 12 x2
第二步，分别用工具变量去乘结构方程，并对所有 的样本观测值求和，得到与未知参数一样多的线性 方程组成的方程组。解方程组就得到结构参数的估
二、工具变量法的应用举例 1.设有一个解释变量的结构方程：
yt 0 1 xt ut
(9.8Байду номын сангаас1)
其中xt是该方程所在模型中的内生变量，因而 COV(xt,ut) ≠ 0。在模型的其他结构方程中可找到这 样的外生变量zt，zt与xt高度相关,但zt与ut不相关即 COV(zt,ut)＝0，即zt
1k1 xk1 u1
(9.8.20)
模型(9.8.20)共有(g1-1)个内生说明变量和k1个前定
变量
1.若方程(9.8.20)
由阶条件知
K1 G1* G 1
或
K
* 1
G
G1*
1
g1
1
(9.8.21)
(9.8.21)表示方程(9.8.20)中所不包含的前定变量 xk11
，x k 1 2 ，…，xk的个数恰好等于(9.8.20)中作为说明变
yt zt ˆ0 zt ˆ1 zt xt
将(9.8.4)代入(9.8.5)，整理后得到
zt yt ˆ1 zt xt
(9.8.5)
便有IV 法参数估计量
ˆ1
zt zt
yt xt
(9.8.6)
可以证明，IV 法估计量不具备无偏性，但具有一致性。
ˆ1
zt yt zt xt
zt ( 0 1xt
§9.8 工具变量法(IV法) IV法的基本思想是当某个说明变量与随机项相
关时，选择一个与此说明变量强相关而与相应的随 机项又不相关的前定变量作为工具，来达到消除该 说明变量与随机项之间的依赖关系的目的。
一、工具变量法的步骤
第一步，选择适当的工具变量。 在联立方程模型中，所选择的工具变量应满足以下 条件：
量的内生变量y2,
y3,…，y
的个数，工具变量的选择
g1
是唯一的(同样x１，x2，…
,
x
本身作为自己的工具
k1
变量)，作拟正规方程组，可求得结构参数唯一的工
具变量法估计值。
因此，工具变量法对于恰好识别的结构方程是一种 有效的方法。
2.若方程(9.8.20)过度识别，则有
K
1
g1 1
(9.8.22)
(1) (2) 它必须是真正的前定变量，因而与结构方程中
(3) 它必须同结构方程中的其他前定变量相关性很小，
(4) 如果在同一结构方程中使用了一个以上的工具变 量，这些工具变量之间的相关性也须很小，避免产生
人们自然会想到模型中的前定变量一般都能满足上 述条件，所以每一个前定变量都可以作为内生说明
由(9.8.1)有
0 y 1x u
(9.8.2)
用zt乘(9.8.1)两边并求和，得到
yt zt 0 zt 1 zt xt zt ut (9.8.3)
由于E(ut)＝0，所以 u 0，(9.8.2)可改写为
ˆ0 y ˆ1 x
(9.8.4)
又由于COV(zt,ut)＝0，所以∑zt ut≈0，于是(9.8.3)
表明在模型中有 x x ， k11 k12，…，xk，即有K1*个前
定变量可选作工具变量。
由于K1*大于g１－１，所以，从K1*个前定变量中选 择g1-1个作为工具变量，就产生了选择的任意性。所 以，工具变量法对过度识别方程不是一种有效的估
计方法。