A
BK − HC
x
x −
xˆ
+
B0 v
（9-243a）
y = C
0x
x −
xˆ
（9-243b）
由于线性变换后系统传递函数矩阵具有不变性，由式(9-282)可导
出系统传递函数矩阵
G(s) = C
0sI
−
(
A− 0
BK
)
− BK −1 B
sI − ( A − HC)
0
（9-244）
利用分块矩阵求逆公式
（9-247）
的传递函数矩阵。这说明复合系统与状态反馈子系统具有相同的传
递特性，与观测器部分无关，可用估值状态 xˆ 代替真实状态 x 作为
反馈。2n维复合系统导出了(n n) 传递矩阵，这是由于 (x − xˆ) 的不
可控造成的。
由于线性变换后特征值具有不变性，由式(9-243)易导出其特征值 满足关系式
x1
尽快逼
近 x1 。用降维状态观测器实现状态反馈的原理结构图如图9—35所
示。由图可得降维状态观测器动态方程
x1 = A11 x1 + v − H (zˆ − z), zˆ = A21 x1
(9—342)
式中H为(n − q) q 矩阵。
图9—35 用降维观测器实现状态反馈原理结构图 分离定理同样适用于降维状态观测器(证明略)。
9-7 线性定常系统的状态观测器
一、引言 ➢被控系统可控时可以利用状态反馈任意配置闭环极点 ➢实现状态反馈的条件之一：状态变量可以用传感器测量
➢问题：不能用传感器测量时 怎么办？
➢ 实现状态反馈的条件之二：所有状态变量可以由 u, y 观测
➢ 状态观测器：用已知的输入和可测量的输出观测或构造状态 又称状态估计器，状态重构器
统，有q个输出变量可直接由传感器测得,对应的有q个状态变量便
无需观测器作出估计，只需估(n计− q) 个状态变量，称(n 为− q) 维
状态观测器。它是一(n个− q) 维子系统，结构比较简单，其动态
方程可由被控系统的线性变换导出。
1. (n-q)维子系统动态方程的建立
设可观测被控系统动态方程为
•
x = Ax + Bu, y = Cx
性。
定理9—7 若被控系统 (A, B,C)可观测，则其状态可用形如
•
xˆ = Axˆ + Bu − HC(xˆ − x) = ( A − HC)xˆ + Bu + Hy
(9-236)
的全维状态观测器给出估值，其中矩阵H按任意配置极点的需要来
选择，以决定状态误差衰减的速率。
选择H阵参数时，应注意防止数值过大带来的实现困难，如饱和效
反馈。
图9-26 状态观测器及其实现状态反馈结构图
二．全维状态观测器分析设计*
由图9-26可列出全维状态观测器动态方程 ．
•
xˆ = Axˆ + Bu − H ( yˆ − y), yˆ = Cxˆ
(9-231)
故有
•
xˆ = Axˆ + Bu − HC(xˆ − x) = ( A − HC)xˆ + Bu + Hy
sI − ( A − BK )
− BK
= sI − ( A − BK ) • sI − ( A − HC)
0
sI − ( A − HC)
（9-248）
该式表明复合系统特征值是由状态反馈子系统和全维状态观测器的
特征值组合而成，且两部分特征值相互独立，彼此不受影响，因而
状态反馈矩阵K和输出反馈矩阵H可根据各自的要求来独立进行设计，
统输出矩阵。由于被控对象可观测，其中部分状态变量仍是可观测
的，故 ( A11 , A21 ) 仍是可观测对。
2. (n-q)维状态观测器的构成及分析设计
与全维状态观测器的构成方法相同，先构造式(9—341)的模拟
系统，利用状态观测器输出z与 zˆ 之差，通过反馈矩阵H负反馈至 x1
处来任意配置降维观测器极点，使 zˆ 尽快逼近Z，从而使
器存在条件。
由式(9-232)与式(9-229)可得
其解为
••
x− xˆ = ( A − HC)(x − xˆ)
（9-234）
x(t) − xˆ(t) = e(A−HC)(t−t0 ) x(t0 ) − xˆ(t0 )
（9-235）
显见当 xˆ(t0 ) = x(t0 )时，恒有 x(t) = xˆ(t) ，所引入的输出反馈并不起
故复合系统动态方程为
x•• xˆ
=
A HC
− BK x B A − BK − HCxˆ + Bv
（9-240a）
y = C
0
x xˆ
（9-240b）
不用状态估值 xˆ ，而用状态误差 (x − xˆ), 将会使分析研究更加直观
方便。由式(9—238)和式(9—239)可得
••
x− xˆ = ( A − HC)(x − xˆ)
(9-232)
式中 (A − HC)称为观测器系统矩阵。观测器分析设计的关键问题是
能否在任何初始条件下，即尽管 xˆ(t0 )与x(t0 ) 不同，但总能保证
lim(xˆ(t) − x(t)) = 0
(9-233)
t →
成立。只有满足式(9-233)，状态反馈系统才能正常工作，式(9-
231)所示系统才能作为实际的状态观测器，故式(9-233)称为观测
按以上设计方法构成的 维观测器，称为龙伯格观测器。 图9—36 变换后的龙伯格观测器结构图
由于式中u为已知及 y 可测得，故v可看作 (n − q) 维子系统的输入
向量。令
•
z = y− A22 y − B 2u
（9－340）
z可看作 (n − q) 维子系统的输出向量，于是 (n − q)维子系统动态方
程为
•
x1 = A11 x1 + v, z = A21 x1
（9－341）
式中x1 为(n − q) 维子状态向量，A11为该子系统状态阵，A21为该子系
故有下述分离定理。
定理9-8(分离定理) 若被控系统 ( A, B,C)可控可观测，用状
态观测器估值形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可
分别独立进行，即K和H阵的设计可分别独立进行。
五．降维状态观测器及其设计*
通常,输出变量是由状态变量的线性组合构成，若能设法经过线
性变换，使输出变量仅含单个独立的状态变量，则对于q维输出系
（9－331）
x 为把
分解为
x1和
x
2两部分，其中x
是q个直接由输出测得的状态变
2
量，引入非奇异线性变换
x = Q −1 x
（9－332）
其中
（n−q）行
D
Qnn
=
C
n行 q行
（9－333）
c为(q n)矩阵，D是使 Q非奇异的任意的 (n q) n矩阵。变换后Βιβλιοθήκη 被控系统动态方程为•
x = Ax + Bu,
问题：如何消除或减小 (xˆ − x) ，以便更好地用 xˆ 实现状态反馈？
分析：(xˆ − x)的存在必定导致 ( yˆ − y)的存在，而被控系统的输出量总
是可以用传感器测量的，于是可根据一般反馈控制原理，将 ( yˆ − y)
•
负反馈至 xˆ 处，控制 (yˆ − y) 尽快逼近于零，从而使 (xˆ − x) 尽快逼
应、噪声加剧等，通常希望观测器响应速度比状态反馈系统的响应
速度要快些。
例9-22 ver6p487 设被控对象传递函数为
Y (s) =
2
U (s) (s + 1)(s + 2)
试设计全维状态观测器，将极点配置在－10，－10。 解 被控对象的传递函数为
Y(s) =
2
=2
U (s) (s + 1)(s + 2) s 2 + 3s + 2
为此需要对引入观测器的状态反馈系统作进一步分析。整个系统
的结构图如图9-26所示，是一个2n维的复合系统，其中
u = v − Kxˆ
（9-237）
状态反馈子系统动态方程为
•
x = Ax + Bu = Ax − BKxˆ + Bv, y = Cx
全维状态观测器动态方程为
（9-238）
•
xˆ = Axˆ + Bu − H ( yˆ − y) = ( A − BK − HC)xˆ + HCx + Bv (9-239)
(9-241)
该式与u,v无关，即 (x, xˆ) 是不可控的，不管施加什么样的控制信
号，状态误差总会衰到零，这正是所希望的，是状态观测器所具有
的重要性质。
对式(9-240)引入非奇异线性变换
则有
x xˆ
=
In
I
n
0 x
−
I
n
x
−
xˆ
（9-242）
•
•
x
x−
• xˆ
=
A
− BK 0
➢ 用状态观测器实现的状态反馈方框图：
？？
➢ 问题：1，如何观测（估计）状态 ？ 2，部分状态可用传感器测量 …？ 3，实际应用时：模型有误差（失配） 4，实际应用时：有不可测干扰 …? …?
➢全维状态观测器 当状态观测器估计的状态向量维数等于被控
对象状态向量的维数时，称为全维状态观测器。
➢降维状态观测器 当状态观测器估计的状态向量的维数小于被
根据传递函数可直接写出系统的可控标准型
•