周期信号 ~x(t) 的频谱 Cn
Cn Cn e jn
傅里叶级数的基本性质 卷积性质：
若 ~x1(t)和~x2 (t) 均是周期为 T0 的周期信号，且
~x1(t) C1n , ~x2 (t) C2n
则有 ~x1(t) * ~x2 (t) T0C1n C2n
吉伯斯现象产生原因： 时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得在间断点傅
奇异信号具有微积分关系：
δ'(t) dδ(t) dt
t
δ(t) δ'( )d
δ(t) du(t) dt
u(t) dr(t) dt
t
u(t) δ( )d
t
r(t) u( )d
线性相加
x(t) t[u(t) u(t T )]
x(t) sin(0t)[u(t) u(t T )]
里叶级数出现非一致收敛。
时域卷积特性
若x1(t) F X1( j)
x2 (t) F X 2 ( j)
则x1(t) x2 (t) F X1( j) X 2 ( j)
[例 9] 求如图所示信号的频谱
解：
x(t) p2 (t) * p2 (t)
x(t) 2
p2 (t) F 2Sa ()
由x1(t) x2 (t) F X1( j) X 2 ( j) 2
x( ) h(t )d
=
3u(
)
2e 3(t
)u(t
)d
= 0t 3 2e 3(t )d
0 2(1 e3t ) = 0
t 0 t0
t 0 t0
= 2(1 e3t )u(t)
卷积的定义：
y(t) x(t) h(t) x( )h(t )d
系统完全响应 = 零输入响应+零状态响应
y[k] yzi [k] yzs [k]
系统的连接方式有：并联、级联、反馈三种。
第四章 周期信号应满足狄里赫利(Dirichlet 条件)，即：
(1) 在一个周期内绝对可积，即满足
T0 / 2 ~x (t) dt T0 / 2
(2) 在一个周期内只有有限个有限的不连续点； (3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。
H ( j) 3( j) 4 3( j) 4 ( j)2 3( j) 2 ( j 1)( j 2)
故系统的零状态响应 yzs (t)的频谱函数 Yzs (jw)为
Yzs
(
j)
X
(
j)H
(
j)
(
j
3( j) 4 1)( j 2)(
j
3)
无失真传输系统应满足两个条件： (1) 系统的幅度响应|H(jw)|在整个频率范围内应为常数 K，即系统的
例 3 ~x (t
解：
)
3
cos
(0t
4)
求 Cn 。
~x (t) 3cos(0t 4)
3 1 e j(0t4) ej(0t4) 2
3 e j4e j0t 3 e j4e j0t
2
2
根据指数形式傅里叶级数的定义可得：
C1
3 2
e j4 ,
C1
3 2
ej4 ,
Cn 0, n 1
x(t)
T
x' (t )
1
t
0
T
t
0
T
(T)
(2) x(t) sin(0t)[u(t) u(t T )] x'(t) 0 cos(0t)[u(t) u(t T )] sin(0t)[ (t) (t T )]
0 cos(0t)[u(t) u(t T )]
x(t) 1
0 1
T t
x' (t) 0
0 0
t T
(1) x1[k] = cos(kp/6) W0 /2p = 1/12, 由于 1/12 是不可约的有理数， 故离散序列的周期 N=12。
连续信号分解为冲激信号的线性组合 离散序列分解为脉冲序列的线性组合
第三章 连续 LTI 系统用 n 阶常系数线性微分方程描述 离散 LTI 系统用 n 阶常系数线性差分方程描述
单位冲激信号作用于初始状态为零的系统上的响应——>冲激响应
[例 5] 已知某 LTI 系统的动态方程式为
y'(t) + 3y(t) = 2x(t)
系统的冲激响应 h(t) = 2e-3t u(t), x(t) = 3u(t), 试求系统的零状态响应
yzs(t)。
解：
yzs (t) x(t) h(t)
(1) x(t) t[u(t) u(t T )]
(2) x(t) sin(0t)[u(t) u(t T )]
解： (1) x(t) t[u(t) u(t T )]
x'(t) u(t) u(t T ) t[ (t) (t T )] u(t) u(t T) T (t T)
0
t 2
X ( j) 4Sa 2 ()
P174 例 4-20
时域的离散化导致其频谱的周期化 X(t)在时域的离散化导致对应的频谱函数 X（jw）的周期变化 X( ej )在频域的离散化导致对应时域系列 x[k]的周期变化
第五章 冲激响应 h（t）的傅里叶变换得 H（jw）
H(jw)一般可以表示为幅度与相位的形式
4. 信号的相加
第二章
[例 2] 写出图示信号的时域描述式
(1) y(t) x1 (t) x2 (tห้องสมุดไป่ตู้ xn (t) (2)
x(t)
x(t)
1
1
t
t
1 0
1
1 0
1
2
1
解:
(1) x(t) r(t 1) r(t) r(t 1) r(t 2)
(2) x(t) u(t 1) 2r(t) 2r(t 1)
带宽为无穷大； (2) 系统的相位响应 (w)在整个频率范围内应与 成正
第六章
拉普拉斯正变换
X (s) x(t)estdt
拉普拉斯反变换
x(t) 1 jX (s)estds 2πj j
x1(t) 0.5
t 0
0.5
x2(t) 0.5
0
t
x1(t)+x2(t) 1
t 0
5. 信号的相乘
y(t) x1(t) x2 (t) xn (t)
x1(t) 1
t
1 0
1
x2(t) 1
2
0
t 2
y(t)=x1(t) x2(t) 1
t
1 0
1
[例 3] 画出下列信号及其一阶导数的波形，其中 T 为常数，w0= 2p/T。
H ( j) | H ( j) | e j()
幅度响应
相位响应
[例 4] 已知描述某 LTI 系统的微分方程为
y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 3x'(t)+4x(t)，
系统的输入激励为 x(t) = e-3t u(t)，求系统的零状态响应 yzs (t)。
解： 由于输入激励 x(t)的频谱函数为 系统的频率响应由微分方程可得 X ( j) 1 j 3