第四章 答案4-1．拉氏变换法和算子符号法在求解微分方程时的区别和联系？解：拉氏变换法和算子符号法都能求解微分方程。

拉氏变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析过程中的一些禁忌，便于把微分方程转为代数方程，简化求解过程。

但拉氏变换法得到的系统函数可能丢失零输入响应的极点故无法用来求零输入响应，而算子符号法得到的传输算子则能反映出所有零输入响应极点。

4-2．判断下列说法的正误。

（1）非周期信号的拉氏变换一定存在； 错 （2）有界周期信号的收敛域为整个右半平面； 对 （3）能量信号的收敛域为整个s 平面； 错 （4）信号2t e 的拉氏变换不存在。

错4-3．求如下信号的拉氏变换。

（1）)sinh(at ；（2）)cosh(at ；（3）t t ωcos ；（4）t t ωsin 。

解：（1）22111sinh()22at at e e a at s a s a s a --⎛⎫=↔-= ⎪-+-⎝⎭ （2）22111cosh()22at at e e sat s a s a s a -+⎛⎫=↔+= ⎪-+-⎝⎭（3）2222222cos ()d s s t t ds s s ωωωω-⎡⎤↔-=⎢⎥++⎣⎦ （4）222222sin ()d s t t ds s s ωωωωω⎡⎤↔-=⎢⎥++⎣⎦4-4．求图示信号)(t f 的拉氏变换)(s F 。

标明其零点和极点。

解：22242(2)()()(2)()(2)t t t t f t e u t e u t e u t e e u t ------=--=--所以2(2)42111()222s s e f t e e s s s -+---↔-=+++ 23111(1)23!!x ne x x x x n =++++++表面上一阶零点2-=z 和一阶极点2-=p ，实际上零极点相消（分子用泰勒级数展开即可），因为有限能量信号的拉氏变换在整个s 平面上收敛，故无零极点。

4-5．求图示两信号的拉氏变换。

解：（1）0()[()((21))]2n T f t u t nT u t n ∞==---+∑所以(21)2211()[](1)Tn snsTT s n f t e es s e∞-+--=↔-=+∑（2）2(21)0()[(2)((21))][]1ns n s sn n Ef t E t n t n E e e eδδ∞∞--+-===---+↔-=+∑∑ 4-6．试求下列信号的拉氏变换。

（1）)]1()()[sin(--t u t u t π；（2）)()42sin(t u t π-；（3）)24(-t δ；（4）⎰t x x 0d )sin(π；（5）)12(-t tu 。

解：（1）sin()[()(1)]sin()()sin[(1)](1)t u t u t t u t t u t ππππ--=--+-22(1)sin()()sin[(1)](1)s e t u t t u ts ππππ-+=+--↔+（2）222sin(2)()2cos 2)())444s t u t t t u t s s π-=--=++ （3）121(42)4s t e δ--↔（4）0()()sin()d sin()()(0)t df t f t x x t sF s f dtππ=⇒=↔-⎰而(0)0f =所以()sF s =£[sin()t π]2222()()F s s s s ππππ=⇒=++（5）£[)12(-t tu ]d ds=-£[(21)u t -]11222111[]()2s s d e e ds s s s --=-=+4-7．求下列函数的拉氏变换。

)(t ft12EE-34...（1）)2sin(t et-；（2）)sinh(t e atβ-；（3）())1(2---t u te t ；（4）te e tt 53---。

解：（1）22sin(2)(1)4t e t s -↔++（2）22111sinh()22()()()tt at at e e e t e s a s a s a βββββββ---⎛⎫-=↔-= ⎪+-+++-⎝⎭（3）()()1212(2)(1)(1)1(1)s s t t d e e s teu t e teu t e ds s s --+----⎧⎫⎡⎤+⎪⎪-=⋅-↔-=⎨⎬⎢⎥++⎪⎪⎣⎦⎩⎭（4）3511355[]limln ln ln35533t t s s e e s s s ds t s s s s s --∞→∞-+++↔-=+=+++++⎰4-8．求下列函数的拉氏逆变换。

（1）11+s ；（2）1112++s ；（3）2312+-s s ；（4）)2()1()3(3+++s s s ；（5）)2)(1(1++-s s s ； （6）)2)(1(32+++s s ss ；（7）23795223+++++s s s s s 。

解：（1）1()1t e u t s -↔+（2）211sin ()()1tu t t s δ+↔++（3）22111()()3221t t e e u t s s s s =-↔--+--（4）22332(3)2111[(1)]()(1)(2)(1)(1)12t t s t t e e u t s s s s s s --+=-+-↔-+-++++++ （5）2132(32)()(1)(2)21t t s e e u t s s s s ---=-↔-++++（6）2231112()2()()(1)(2)12t ts s t e e u t s s s s δ--+⎡⎤=--↔--⎢⎥++++⎣⎦（7）3222597212()2()(2)()3212t t ss s s t t e e u t s s s s δδ--+++'=++-↔++-++++ 4-9．求下列函数的拉氏逆变换。

（1）)1(42+-s s e s ；（2）)1(1s e s -+;（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛+9ln s s 。

解：（1）2211()[1cos(1)](1)4(1)414s s e e s t u t s s s s --=-↔---++ （2）23011[1][(2)(2)](1)s s ss n e e e u t nT u t nT T s e s ∞----==-+-+↔----+∑（3）999111()ln (1)()()(1)()999tt d s s d s tf t e u t f t e u t dt s s ds s s s t--+⎛⎫⎡⎤-↔=⋅=-↔-⇒=- ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦4-10．试用拉氏变换分析法，求解下列微分方程。

（1）)()(2)(3)(t e t r t r t r '=+'+''，0)0()0(=='--r r ，)()(t u t e =；（2）)()()(4)(4)(t e t e t r t r t r +'=+'+''，2)0(,1)0(=='--r r ，)()(t u e t e t -=； （3）)(8)(2)(6)(5)(t e t e t r t r t r +'=+'+''，3)0(,2)0(=='--r r ，)()(t u e t e t -=。

解：（1）2()(0)(0)3[()(0)]2()()(0)s R s sr r sR s r R s sE s e ----'--+-+=-0)0()0(=='--r r ，(0)0e -=，1()E s s=22111()()()()(32)12t tR s r t e e u t s s s s --==-⇒=-++++ （2）[]2()(0)(0)4()(0)4()()(0)()s R s sr r sR s r R s sE s e E s ----'--+-+=-+2)0(,1)0(=='--r r ，(0)0e -=，1()1E s s =+ []2()214()24()1s R s s sR s R s --+-+= 222221026()()(26)()(2)2(2)t t s R s r t e te u t s s s --+==+⇒=++++ （3）2()(0)(0)5[()(0)]6()2()2(0)8()s R s sr r sR s r R s sE s e E s ----'--+-+=-+3)0(,2)0(=='--r r ，1()1E s s =+ 22332225377()()(377)()(1)(2)(3)123t t t s s R s r t e e e u t s s s s s s ---++==+-⇒=+-++++++4-11．如图所示电路，开关闭合已很长时间，当0t =时开关打开，试求响应电流()i t 。

解：(0)5i A -= 在s 域列写方程为51010510133()52()2()()223()33s sI s I s sI s I s s s s s s +-++=⇒==-⋅++所以2310()(5)()3t i t e u t -=-4-12．求下列系统的传递函数)(/)()()(s E s R s H t h =↔。

（1）3232d d d d ()7()10()5()5()d d d d r t r t r t e t e t t t t t++=+；（2）()()1p r t e t p =⋅+；（3）∑∞=----*-----=0)1()2()]}2()([)]1()([{)(n t t n t t u t u e t u t u e t h δ；0t =解：（1）32()55()()()710R s s h t H s E s s s s+↔==++ （2）()()()()1R s s h t H s E s s ↔==+ （3）∑∞=----*-----=0)1()2()]}2()([)]1()([{)(n t t n t t u t u e t u t u e t h δ1(1)1(2)[()(1)()(2)](2)tt t t n e u t e eu t e e u t e eu t t n δ∞--------==-⋅--⋅+⋅-*-∑112(1)(21)221111[]1111111s s s s s se e e e e e e e s s s s e s e -----+-+----+↔--+⋅=⋅++++-+- (1)(){[()(1)][(1)(2)]}(2)tt n h t e u t u t eu t u t t n δ∞---==------*-∑112(1)(21)221111[]1111111s s s s s s s se e e e e e e e s s s s e s e ------+--+----+↔--+⋅=⋅++++-+- (1)(21)(1)(1)2111(1)(1)11111(1)(1)11s s s s s s s s s se e e e e e s e s e e s e-+--+-+--+------+---=⋅=⋅=⋅+-++-++ 4-13．图示电路，若以电压)(t u 作为输出，试求其系统函数和冲激响应。