一元二次方程根的情况练习题（含答案）一．选择题1．一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根3．一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定4．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定5．a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为06．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根7．一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（）C．只有一个实数根D．没有实数根8．y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（）A．没有实数根 B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根9．一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根10．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根11．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根12．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根13．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根14．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）C．两个根都是自然数D．无实数根15．一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定根的情况16．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根17．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根18．关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定的19．关于x的一元二次方程x2﹣ax+（a﹣1）=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根二．填空题21．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．22．关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为．23．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．24．关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是．25．若关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，则k= ．26．若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．27．如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是．28．一元二次方程2x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．29．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．30．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k 的值等于．31．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．32．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．33．若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是．34．若一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是．35．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．36．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则实数a的取值范围是．37．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是．一．选择题（共20小题）1．（2017•河南）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．2．（2017•常德）一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根【分析】先计算判别式的意义，然后根据判别式的意义判断根的情况．【解答】解：∵△=（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0∴方程有两个不相等的实数根．故选D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．（2017•扬州）一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵△=（﹣7）2﹣4×（﹣2）=57＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．4．（2016•昆明）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．【解答】解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出△=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键．5．（2016•河北）a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为0【分析】利用完全平方的展开式将（a﹣c）2展开，即可得出ac＜0，再结合方程ax2+bx+c=0根的判别式△=b2﹣4ac，即可得出△＞0，由此即可得出结论．【解答】解：∵（a﹣c）2=a2+c2﹣2ac＞a2+c2，∴ac＜0．在方程ax2+bx+c=0中，△=b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了完全平方公式以及根的判别式，解题的关键是找出△=b2﹣4ac＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号，得出方程实数根的个数是关键．6．（2016•邵阳）一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】代入数据求出根的判别式△=b2﹣4ac的值，根据△的正负即可得出结论．【解答】解：∵△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×1=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是求出根的判别式△=1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键．7．（2016•舟山）一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数；△＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．【解答】解：∵a=2，b=﹣3，c=1，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×1=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．（2016•黔南州）y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（）A．没有实数根 B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根【分析】由一次函数的定义可求得k的取值范围，再根据一元二次方程的判别式可求得答案．【解答】解：∵y=x+1是关于x的一次函数，∴≠0，∴k﹣1＞0，解得k＞1，又一元二次方程kx2+2x+1=0的判别式△=4﹣4k，∴△＜0，∴一元二次方程kx2+2x+1=0无实数根，故选A．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，即①△＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根，②△=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根，③△＜0⇔一元二次方程无实数根．9．（2016•兰州）一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数；△＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．【解答】解：∵△=22﹣4×1×1=0，∴一元二次方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根；故选B．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．10．（2016•怀化）一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：∵a=1，b=﹣1，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．11．（2015•锦州）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先计算判别式得到△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．12．（2015•滨州）一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：原方程可化为：4x2﹣4x+1=0，∵△=42﹣4×4×1=0，∴方程有两个相等的实数根．故选C．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．13．（2015•长春）方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根【分析】把a=1，b=﹣2，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，所以方程没有实数根．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．14．（2015•重庆）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数D．无实数根【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a=2，b=﹣5，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，是解决问题的关键．15．（2015•珠海）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定根的情况【分析】求出△的值即可判断．【解答】解：一元二次方程x2+x+=0中，∵△=1﹣4×1×=0，∴原方程由两个相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．16．（2014•自贡）一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b2﹣4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=5，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，所以原方程没有实数根．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．17．（2017•思茅区校级一模）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【分析】要判断方程x2﹣4x+4=0的根的情况就要求出方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=4，∴△=16﹣16=0，∴方程有两个相等的实数根．故选C．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．18．（2017•静安区二模）关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定的【分析】先计算△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，由于m2为非负数，则m2+4＞0，即△＞0，根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义即可判断方程根的情况．【解答】解：△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，∵m2≥0，∴m2+4＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．19．（2017•兴庆区校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣ax+（a﹣1）=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根【分析】要判断一元二次方程x2﹣ax+（a﹣1）=0的根的情况，就要求出其判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．【解答】解：∵△=a2﹣4×1×（a﹣1）=a2﹣4a+4=（a﹣2）2≥0，∴此方程有两个实数根．故选D．【点评】结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20．（2017•河南）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（）A．B．2﹣C．2﹣D．4﹣【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OO′，BO′，∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，∴∠OAO′=60°，∴△OAO′是等边三角形，∴∠AOO′=60°，∵∠AOB=120°，∴∠O′OB=60°，∴△OO′B是等边三角形，∴∠AO′B=120°，∵∠AO′B′=120°，∴∠B′O′B=120°，∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）=×1×2﹣（﹣×2×）=2﹣．故选C．【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二．填空题（共19小题）21．（2016•河南）若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞﹣．【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，∴△=32﹣4×1×（﹣k）=9+4k＞0，解得：k＞﹣．故答案为：k＞﹣．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．22．（2017•大连）关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为c＜1 ．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，∴△=22﹣4c=4﹣4c＞0，解得：c＜1．故答案为：c＜1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．23．（2016•上海）如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣3）2﹣4×1×k=9﹣4k=0，解得：k=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9﹣4k=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．24．（2016•长春）关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m 的值是 1 ．【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴22﹣4m=0，∴m=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=0，此题难度不大．25．（2016•淮安）若关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，则k= 9 ．【分析】根据判别式的意义得到△=62﹣4×1×k=0，然后解一次方程即可．【解答】解：∵一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，∴△=62﹣4×1×k=0，解得：k=9，故答案为：9．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．取值范围是k＜1 ．【分析】直接利用根的判别式得出△=b2﹣4ac=4﹣4k＞0进而求出答案．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4﹣4k＞0，解得：k＜1，则k的取值范围是：k＜1．故答案为：k＜1．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出△符号是解题关键．27．（2014•上海）如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是k＜1 ．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，解得k＜1，∴k的取值范围为k＜1．故答案为：k＜1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．取值范围是k＜．【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4×2×k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4×2×k＞0，解得k＜．故答案为：k＜．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．29．（2015•岳阳）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．【分析】根据题意可得△=0，据此求解即可．【解答】解：∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，∴△=9﹣4m=0，解得：m=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当△=0时，方程有两个相等的两个实数根．30．（2015•新疆）已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于 3 ．【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，据此可列出关于k的等量关系式，即可求得k的值．【解答】解：∵关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=144﹣4×3k×（k+1）=0，解得k=﹣4或3，∵k＞0，∴k=3．故答案为3．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．31．（2015•漳州）若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＞﹣且a≠0 ．【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，解不等式组即可求出a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，解得：a＞﹣且a≠0．故答案为：a＞﹣且a≠0．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．32．（2017•罗平县一模）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞﹣1且k≠0 ．【分析】由关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且k≠0，则可求得k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）=4+4k＞0，∴k＞﹣1，∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0∴k≠0，∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠0．故答案为：k＞﹣1且k≠0．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．33．（2017•凉州区一模）若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是k≤9，且k≠0 ．【分析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【解答】解：∵方程有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=36﹣4k≥0，即k≤9，且k≠0【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．34．（2017•绿园区二模）若一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是 1 ．【分析】根据已知条件“一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根”可知根的判别式△=b2﹣4ac=0，据此可以求得a的值．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+a=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=a，且一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，即△=（﹣2）2﹣4×1×a=0，解得a=1．故答案是：1．【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．35．（2017•盘锦三模）已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＜1 ．【分析】关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac ＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．【解答】解：∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×a=4﹣4a＞0，解得：a＜1．∴a的取值范围是a＜1．故答案为：a＜1．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．36．（2017•抚顺县一模）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则实数a的取值范围是a≥1且a≠5 ．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△=b2﹣4ac≥0．【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，所以△=b2﹣4ac=16+4（a﹣5）≥0，解之得a≥1．∵a﹣5≠0∴a≠5∴实数a的取值范围是a≥1且a≠5故答案为a≥1且a≠5．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．37．（2017•河南模拟）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是m≤3且m≠2 ．【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m 的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，∴△=22﹣4×（m﹣2）×1≥0，且m﹣2≠0，解得：m≤3且m≠2，故答案为：m≤3且m≠2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．38．（2016•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA=2，则阴影部分的面积为﹣．【分析】连接OC、AC，根据题意得到△AOC为等边三角形，∠BOC=30°，分别求出扇形COB的面积、△AOC的面积、扇形AOC的面积，计算即可．【解答】解：连接OC、AC，由题意得，OA=OC=AC=2，∴△AOC为等边三角形，∠BOC=30°，∴扇形COB的面积为：=，△AOC的面积为：×2×=，扇形AOC的面积为：=，则阴影部分的面积为：+﹣=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握等边三角形的性质、扇形的面积公式S=是解题的关键．39．（2015•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为+．【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO=30°，继而可得△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去S空白AEC即可求出阴影部分的面积．【解答】解：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE==π，∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）=﹣﹣（π﹣×1×）=π﹣π+=+．故答案为：+．【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=．。