第3章：激光纵模：每一个q值对应有正反两列沿相反方向传播的同频率光波两列光波的结果，将在腔内形成驻波。

谐振腔形成的每一列驻波称为一个纵模。

激光谐振腔的谐振频率主要决定于纵模序数Vmnq=qc/2μL.腔内两个相邻纵模频率之差为纵模的频率间隔：△Vq=Vq+1-Vq=c/2μL.激光纵模：激光的模式也常采用微波中标志模式的符号来标记，极为TEMmnq，其中TEMoo是基横模。

激光横模：在激光谐振腔存在的稳定的横向分布，就是自再现模，通常称为横模。

m、n 的值正好分别等于光强在x，y方向上的节线（光强为0的线）数目，而且由Fm（X）和Fn（Y）函数的机制分布看出，m、内的值越大，光场也越向外扩展。

基横模行波输出在与光束前进方向的垂直平面上的强度呈高斯型分布，通常称为高斯光束。

高斯光束与普通光束有很大区别，它的传播方向性好很好，同时也会不断的发散，其发散的规律不同于球面波，在传播过程中她的波面曲率一直在变化，但是永远不会变成0，除光束中心外，高斯光束并不沿直线传播。

高斯光束的强度分布：在z处基膜的有效截面半径w（z）=根号下λL[1+(2z/L) ²]/2π。

在共焦腔中心（z=0）的截面内光斑有极小值束腰半径：Wo=Ws/根号2=根号下λL/π除以根号2；在共焦腔的焦平面上，束腰半径Wo最小。

该处称为高斯光束的“光腰”或“束腰”。

基膜光斑尺寸：Ws=根号下Xs²+Ys²=根号下λL/π。

高斯光束共焦场的相位分布由相位函数φ（x，y，z）描述，φ（x，y，z）随坐标而变化，与腔的轴线相交于Zo的等相位面的方程为：φ（x，y，z）=φ（0，0，Zo），则偏离实际广州的程度Z-Zo=（根号下Ro²-（x²+y²））-Ro。

当zo>0时，Z-Zo<0；当Zo<0时，Z-Zo>0.这就表示，共焦场的等相位面都是凹面向着腔的中心（z=0）的球面。

等相面的曲率半径随坐标z0而变化，当Zo=±f=±L/2时，R(Zo)=2f=L，表明共焦腔反射镜面本身与场的两个等相位面重合，当Zo=0时，R(Zo→无穷；当Zo→无穷时，R(Zo)趋近于无穷，可见通过共焦腔中心的等相位面是与腔轴垂直的平面，距腔中心无限远处的等相位面也是平面。

不难证明，共焦腔反射镜面是共焦场中曲率最大的等相位面。

共焦腔的基膜光束依双曲线规律从腔的中心向外扩展。

则该发散角（2θ）定义为双曲线的两根渐近线之间的夹角2θ在光束有效截面半径处（即基膜强度的1/e²处）的远场发射角2θ=2根号下2λ/πl= 2λ/πWo，高斯光束的远场发射角完全取决于其束腰半径。

共焦腔基膜光束的理论发散角具有毫弧度的数量级，说明它的方向性好。

高阶模的发散角随着模的阶次的增大而增大，所以多模震荡时，光束的方向性要比多模振荡差。

激光器发出的高斯光束具有良好的方向性，因而它也具有高亮度的特点，亮度B定义为：单位面积的发光面在其法线方向上单位立体范围内输出的辐射功率。

B=△I/△S△Ω由于激光的远场发散角很微小，所以它所张得立体角可表示为：△Ω=π（θR）²/R²=πθ²一般的激光器是想着数量级约为10负六次方sr的立体角范围内输出激光光束的。

而普通光源发光时朝向空间各个可能的方向的，他的发光立体角是4πsr相比之下，普通光源的发光立体角是激光的约几万倍。

当两个镜面完全相同时（对称开腔），这种稳态场分布应在腔内经单程渡越（传播）后即实现“再现”。

这个稳态的横向场分布，就是激光谐振腔的自再现模。

其积分方程：Uq+1（x，y）=ik/4π∫m∫Uq（x’,y’）e-ikp/ρ（1+cosθ）ds’.本征值σmn一般也是复数，它的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗，损耗包括衍射损耗和集合损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用δ表示。

定义δ=（▏Uq▕²-▏Uq+1▕²）/▏Uq▕².自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于有腔长L所决定的几何相移kl，它们的关系为δΦ=-kl+△φ，△φ表示腔内单程渡越时相对于几何相移的单程附加相移，或简称为单程相移。

腔内的光场可以通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面M1上的场分布μmn（x1，y1）在腔内造成行波求得。

这一行波被镜面M2反射，使得传播方向相反的两列行波在腔内叠加而形成驻波，该驻波场的分布就是腔内的光场分布。

腔外的光场就是腔内沿一个方向传播的行波透过镜面的部分，实际上就是行波函数生意镜面的透射率。

如果在场任意一个等相位面处放上一块具有相应曲率的反射镜片，则入射在该镜片上的场将准确地沿着原入射方向返回，这样共焦腔中产生的场分布将不会改变。

只要该反射镜不在共焦腔原先的反射镜位置上，其曲率半径就与原反射镜不相同，使得到了一个新的球面腔，该球面腔与原共焦腔等价，产生的行波场与原共焦场完全一致，但是一定不再是共焦的。

任何一个共焦腔场有无穷多个等相位面，因而存在无穷个“等价”的球面腔。

任意一个满足稳定性条件的球面腔只可唯一的与一个共焦腔等价。

等价共焦腔的共焦参数f=√L(R1-L)(R2-L)(R1+R2+L)/R1+R2-2L 稳定共焦腔的光束传播特性：①等价共焦腔的束腰半径为wo=[(λ/π)²L((R1-L)(R2-L)(R1+R2+L)/(R1+R2-2L)²)]1②谐振频率Vmnq=C/λμ=C/2μL[q+1/π（m+n+1）arccos根号下g1g2] 光学谐振腔的衍射理论实际上是建立在标量衍射理论的菲涅耳-基尔霍夫衍射积分。

以及模式再现概念的基础上的。

均匀增宽型介质激光器的输出功率P=AIout=1/2t1IsA(2LGo/(a1+t1)-1);非均匀增宽介质激光器的输出功率：P=AIout(ν)=At1I(ν)= t1IsA[(2LG0D(ν)/(a1+t1))²-1]，若频率为νo的光束截面为A,则激光器的输出功率为P=…Vo；随着频率逐渐接近于νo，输出功率也逐渐增大。

当频率v变到νo-（1-I/Is）½△ν/2<ν<νo+1-I/Is）½△ν/2范围内时，该光波在增益系数G(ν)曲线对称“烧”的两个孔发生了重叠，这意味着参与对v光波进行增益放大的粒子束开始减少，因此，输出功率将不再随G0D(ν)的增大而增大。

随着(ν)与νo的距离越来越小，G(ν)曲线上两个孔完全重叠部分越来越大，输出功率也逐渐减小，直至V=Vo时，G(ν)曲线上两个孔完全重合，输出功率降至一个极小值。

输出功率P(ν)曲线在中心频率处出现一个凹陷，称为“兰姆凹陷”，兰姆凹陷的中心频率Vo，宽度大致为均匀增宽的线宽△ν。

自发辐射在任何激光器中都存在，所以这种因素造成的激光线宽无法排除。

也就是说这种线宽是消除其他各种使激光线宽增加的因素后，最终可以达到的最小线宽，所以也叫做线宽极限。

第4章激光器输出的选模技术就是激光器选频技术。

大多数激光器为了得到较大的输出能量使用较长的激光谐振腔，这就使得激光器的输出是多模的。

然而，基横模与高阶模相比，具有亮度高，发散角小，径向光强分布均匀、振荡频率单一等特点，具有最佳的时间和空间相干性。

因此，单一基横模运转的激光器是一种理想的相干光源。

激光器输出的选模（选频）技术分为两个部分，一部分是对于激光纵模的选取，另一部分是对激光横模的选取均匀增宽型谱线的纵模竞争：通过增益的饱和效应，是某个纵模逐渐把别的纵模的振荡抑制下去，最后只剩下该纵模的振荡的现象叫作“纵模的竞争”单纵模的选取方法：①短腔法②法布里-柏罗标准具法③三反射镜法：要提高光束的单色性和相干长度（如在干涉测长仪中就要求良好的单色性），就需要使激光器工作在单一纵模下（一般是基横模）。

但是许多非均匀增宽的气体激光器往往有几个纵模同时振荡，因此，要设计单纵模激光器，就必须采取选频的方法。

常用的选频方法有如下几种: ①短腔法：根据谐振腔原理可知，两相邻纵模间的频率差△νq=c/2Μl,因此，纵模频率间隔和谐振腔的腔长成反比。

要想得到单一纵模的输出，只要缩短腔长，使△νq得宽度大于增益曲线阀值以上所对应的宽度即可。

短枪法虽然简单，但是由于受到腔长限制，激活介质的工作长度也相应的受到限制，因此激光的输出功率必然受到限制，这对于那些需要大功率单纵模输出的应用场合是不适合的。

其次，有些激光输出谱线荧光宽度很宽，弱要加大到足够的纵模间宽度，势必要使腔长缩到很短，激活介质的工作长度相应变短，以至于难以实现粒子数反转而不能输出激光。

②法布里-柏罗标准具法：这种方法就是在外腔激光器的谐振腔内，沿几乎垂直于腔轴方向插入一个法布里-柏罗标准具。

这种标准是用透射率很高的材料制成的，两个端面被研磨的高度平行，且渡有高反射率的反射膜。

③三反射镜法：三反射镜法又叫作复合腔需选模法激光器一段的反射镜被三块反射镜的组合所替代，其中m3和m4为全反射镜，m2是具有适当透射率的部分投射反射镜。

这个组合相当于两个谐振腔的耦合，一个谐振腔由m1和m3组成，其腔长为L1+L2;另一个谐振腔由m3和m4组成，其腔长为L2+L3.如果L2/L3较短，就形成了一个短谐振腔和一个长谐振腔的耦合，短谐振腔的纵模频率间隔为短△ν=c/(2μ（L3+L2）),场谐振腔的纵模频率间隔为△ν=c/(2μ（L1+L2）)只有同时满足两个谐振条件的光才能形成振荡，故只要选取L2+L3足够小，就可以获得单纵模输出。

激光单横模的选取方法：激光振荡的条件是增益系数G必须大于损耗系数α总。

损耗分为与横模阶数有关的衍射损耗和与振荡有关的其他损耗。

基横模选择的实质是使TEMoo模达到振荡条件，而使高阶横模的振荡受到抑制。

因此，需要控制各高阶模式的额衍射损耗，即可达到选取横模的目的。

①在激光谐振腔内振荡的基横模是高斯光束，其光振幅和光强分布在与光轴垂直的平面上呈高斯函数形式，一直延伸到离光轴无限远外。

因此，由于反射镜的而有限尺寸的限制，每一系反射都会有一部分光能衍射到镜面之外，造成能量损失。

这种由于衍射效应形成的光能量损失称为衍射损耗。

基横模高斯光束的单程衍射损耗为δD=φ’/φ=exp(-2a²/w1²)反射镜的镜面半径越大，衍射损耗越小。

在实际激光器中，反射镜面常常是足够大的，对光束的限制来自于增益介质的孔径，如果在激光器写谐振腔中加了小孔光阑，则a应当取光阑的半径，镜面光斑尺寸越小，衍射损耗也越小。

横模阶次越高则光斑尺寸越大。

因此在a一定的情况下，越高阶的横模，其衍射损耗越大。

只有基横模的衍射损耗最小，在分析衍射损耗时，为了方便，经常引入一个称为“菲涅耳数”的参量，它定义为N=a²/Λl,镜面光斑半径（Ws=根号下Xs²+Ys²=根号下（λL/π），单程基横模衍射损耗可以表示为δD=exp（2πN）菲涅耳数越大，单程衍射损耗就越小，菲涅耳数是表征谐振腔衍射损耗的特征参量。