x
x2 x1
思考?
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• 观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么?
f(x2 ) f (x1)
x x y
2
1
f(x2)
Y=f(x) x2-x1 B
f(x2)-f(x1)
直线AB的斜 率
f(x1) O
A
x
x1
x2
2020/9/24
做两个题吧!
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则
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平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x1) 表示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一
个“增量”可用x1+Δx代
替x2
则平均变化率为
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f 同样Δf=Δfy(=x=2f()x2)-ff(x(1x)1)
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等;
• 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
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4 r3
•
3 如果将半径r表示为体积V的函数,那么
r(V ) 3 3V
4
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
1 0
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r(2) r(1) 0.16(dm
(2)计算平均变化率
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
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练习：
• 过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1 时割线的斜率.
K=3Δx+(Δx)2=3+3×0.1+(0.1)2=3.31
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作业：
气球的平均膨胀率为
r(2) 2
r(1) 1
0.16(dm
/
显然
L)0.62>0.16
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思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?
r(V2 ) r(V1) V2 V1
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问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 在函数关系
Δy/Δx=( )D
A3
B 3Δx-(Δx)2
C 3-(Δx)2 D 3-Δx
• 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
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小结：
• 1.函数的平均变化率
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态?
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
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请计 0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v : 算
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平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。
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3.1 变化率问题
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可 以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增 加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
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我们来分析一下:
• 气球的体积V(单位:L)与半径r
(单位:dm)之间的函数关系是 V
(r)