Lode参数为
2σ 2 σ1 σ 3 T πR 2 p σ = = σ1 σ 3 πR 2 p
改变T与p的比值关系,可以得到不同的σ.例如 当T=0,σ= 1;T=πR2p,σ=0;T=2πR2p,σ=1. 当 0≤T≤2πR2p时,1 ≤σ≤1 Tresca屈服条件为
σ1 σ 3 =1 σs
k2 =
1 3
σs
(2)剪切:屈服时τ =τs σ1= τs,σ2=0,σ3= τs,,屈服条件 J2= τ2 =k2 s k2 = τs. 因此,如果材料服从Mises屈服条件,则 σs= 3τs
两种屈服条件比较
e2'
如假定单轴拉伸时两个屈 服面重合,则Tresca六边形 内接于Mises圆;
σ3
σ1
屈服面在π平面上的投影在每300分割段中都具有相似形.
′ ′ ′ (1) 关于 e1 e 2 e 3 对称.
σ3
σ2
σ2
σ3
σ1
σ1
(s1,s2,s3)
(s1,s3,s2)
′ (s1,s2,s3)和(s1,s3,s2)两种应力状态在π平面上关于 e1 对称 ′ ′ (2) 关于 e1 e 2 ′ e 3 的垂直线对称.
e2 '
σ2 σ1 =σ2=σ 3
π平面
屈服面
e3 '
e1 '
σ3
σ1
材料常数k1值可由简单实验确定 (1)单轴拉伸:屈服时σ1 =σs,σ2 =σ3 =0,代入屈服条件 k1= σs/2 (2)简单剪切:屈服时 τ =τs σ1= τs,σ2=0,σ3= τs, 代入屈服条件 k1= τs σs=2τ
σ1σ3 = σθ = pR/t 对于Mises屈服条件: 对于Tresca屈服条件: p = 2τs行试验,所得屈服时的应力状态为(σ1, σ2)=(3t,t),假定此材料为各向同性,与静水压力无关且拉压屈服应力相等. (1)由上述条件推断在σ1-σ2空间中的各屈服点应力. (2)证明Mises屈服条件在σ1-σ2空间中的曲线通过(a)中所有点. 解:由于静水压力无关的条件得出屈服在以下各点会发生: (σ1,σ2,σ3) = (3t,t,0)+ (3t,3t,3t)= (0,2t,3t) (σ1,σ2,σ3) = (3t,t,0)+ (t,t,t)= (2t,0,t)
′ s1cosβ e1 +s2cosβ e 2 ′
+s3cos e ′ 3 β
′ ′ ′ e1 e 3 与x轴的夹角分别为300和300,而 e 2 与y轴重合
2 (s1 s3) = 2 ( σ1 σ3) 2 2
x=
y=
1 6
(2s2 –s1s3) =
1
6
( 2σ2 σ1σ3)
极坐标
rσ = x 2 + y 2 = 2J 2
σ=σ
等效应变,类似于等效应力,它被定义为
ε=
2 2 eij eij = (ε1 ε 2 ) 2 + (ε 2 ε3 ) 2 + (ε3 ε1 ) 2 3 9
[
]
式中ε1,ε2,ε3是主应变 单轴拉伸时,若假定材料是体积不可压缩的,即体积应变为零, 则应变状态为ε1 = ε,ε2 = ε3 = ε/2,得:
s1 = 1 2 x 1 6 y= 2 2π rσ sin(θ σ + ) 3 3
s2 =
2 y= 3
1 2
2 rσ sin θ σ 3
1 6 2 2π rσ sin(θ σ ) 3 3
s3 =
x
y=
屈服面的一般形状
是垂直于π平面的柱面
σ2
σ2 σ1 =σ2=σ 3
π
π平面
屈服面
σ 3
σ 1
八面体与剪应力
σ3
σ3
σ2
σ2
σ1
σ1
n=le1+ me2+ ne3=
1 3
(e1+ e2+ e3),
1 3
l=m=n= 该斜截面上的正应力是
σn = T( n)n=l2σ1+ m2σ2 + n2σ3 应力矢量的模为
T = (lσ1)2+( mσ2)2+( nσ3)2
τ2 = T σ2 n n
Taylor和Quinneyz实验
于1931年在薄壁圆筒受拉力T和扭转M联合作用下进行了实验.
σz
τzθ
M
T
在这种情况下,应力状态是
σz = T ; 2πRt τ θz = M 2πR 2 t
e3 '
e1 '
σ3
σ1
J2 的物理意义
J2与弹性状态的形状改变能成正比
1 sijeij= 1 sijsij= 1 J2 2 4G 2G
J2也与材料八面体上的剪应力成比例
材料常数k2由简单实验确定 (1)单轴拉伸:屈服时 σ1 =σs,σ2 =σ3 =0,代入屈服条件
σ2 J 2 = s = k 22 3
在应力空间中任意一点P,其应力为 σ1,σ2,σ3
OP = σ1e1+ σ2e2+ σ3e3 = (s1+σ0)e1+ (s2+σ0)e2+(s3+ σ0)e3
= (s1e1+ s2e2+ s3e3)+ (σ0e1+ σ0e2+ σ0e3) = OQ + ON
σ3
N
π平面
P O Q σ1
σ2
一个应力状态是否会进入屈服只取决于它π平面上的投影 对于同一点, π平面的平面坐标与主应力空间的空间坐标相互转换关系
ε=ε
屈 服 条 件
对于简单应力状态,我们可以根据实验很容易确定其屈服条件. (1)单轴拉伸 (2)纯剪 σ = σs τ = τs
对于复杂应力加载,在应力空间中,屈服条件的数学表达式可概括为: f (σij) = 0 屈服条件的一般形式 f (σ1,σ2,σ3,θ1,θ2,θ3) = 0
两个简化假定: (1)材料初始是各向同性的.与θ1,θ2,θ3无关, f (σ1,σ2,σ3)=0 f (I1,I2,I3)=0 (2)静水压力不影响塑性状态, f(J2,J3)=0 式中J2,J3是偏应力张量s的不变量.
对于Mises屈服条件:
J2
=k22 = τs
2
p = √3τst/R p = 2τst/R
对于Tresca屈服条件: σ1σ3 =k1=2τs
(2)管段的两端是封闭的; 应力状态为,σz= pR/2t,σθ = pR/t,σr=0,τzr=τrθ=τθz
1 1 3 2+(σ σ )2+(σ σ )2+6( τ 2 + τ 2 + τ 2 )]= J2 = [(σzσr) (pR/t)2 zr rθ θz r θ θ z 6 62
主应力空间
建立由σ1,σ2,σ3为坐标轴的直角坐标系,称之为主应力空间 主应力空间中任意一点P(σ1,σ2,σ3)代表物体内一点的应力状态 屈服面f (σ1,σ2,σ3)=0代表主应力空间中的一个曲面 当P点位于屈服面f (σ1,σ2,σ3)=0上,表示应力状态满足屈服条件. 当P点在屈服面内部,即f (σ1,σ2,σ3)<0,表示处在弹性状态.
还有,由于拉压屈服应力相等,因而可得到σ1-σ2空间中的另外六个应 力屈服点 A3:(σ1,σ2,σ3) = (3t,t,0) A4:(σ1,σ2,σ3) = (t,3t,0) B3:(σ1,σ2,σ3) = (3t,2t,0) B4:(σ1,σ2,σ3) = (2t,3t,0) C3:(σ1,σ2,σ3) = (2t,t,0) C4:(σ1,σ2,σ3) = (t,2t,0) 因此,根据这些点的数据,可以作出在σ1-σ2空间中的屈服面.容易证
(1) 管的两端是自由的; 应力状态为,σz = 0,σθ = pR/t,σr=0,τzr=τrθ=τθz
1 J2 = [(σzσr)2+(σrσθ)2+(σθσz)2+6(τ 2 + τ 2θ + τ 2z )] zr r θ 6
=
1 1 2]= [2(pR/t) (pR/t)2 3 6
σ1σ3 = σθ = pR/t
1 σ8 = (σ +σ +σ ) 3 1 2 3
等效应力
3 σ= sij sij = 3 J 2 2
若将x,y,z轴取为主轴,则J2可由主应力表示为
1 J2= [(σ1σ2)2+(σ2σ3)2+(σ3σ1)2]] 6 1 = (σ1 σ 2 ) 2 + (σ 2 σ3 ) 2 + (σ3 σ1 ) 2 2 简单拉伸时,应力状态为σ1=σ,σ2=σ3=0,因此得
Mises屈服条件为
3J 2 = y 3 3 3 1 2 rσ = x 1 + ( )2 = (σ 1 σ 3 ) 1 + σ 2 2 x 2 3
σ1 σ 3 = σs
2 3 + 2 σ
建立以(σ1σ3)/σs为纵轴,σ为横轴的坐标系, 将试验结果与屈服条件绘于(σ1σ3)/σs～σ 的坐标系中进行比较
e 2' y
e2 C
rσ
2
1
β 1
2
2
O
θσ
x
1
O D
A e1
2
e 3'
e 1'
B e3
2
2
2π ′ ′ ′ 将e1,e2,e3,投影在π平面上,得 e1 e 2 e 3 ,相互间的夹角为 3
′ e1 与e 轴的夹角 1
cos β = OC = CD 1 3 = 2 2 3