弹塑性力学第七章塑性力学的基本方程与解法一、非弹性本构关系的实验基础拿一根工程上最常用的低碳钢的试件，在拉伸试验机上就可得到如图7.1所示的应力应变曲线。

图中A为比例极限，当变形状态未超过A点时材料处于线弹性状态；B为弹性极限，AB段的变形虽然还是弹性的，即卸载时能按原来的加载曲线返回，但应力应变之间不再是线性关系。

C，D分别为上、下屈服极限，超过C点后材料进入塑性变形状态，卸载时不再按原来的加载曲线返回，而且当载荷完全卸除后还有残余变形。

由C到D是突然发生的，由于材料屈服引起应力突然下降，而应变继续增加。

由D到H是一接近水平的线段，称为塑性流动段。

对同一种材料D点的测量值比较稳定，而C点受试件截面尺寸、加载速率等影响较大。

如果载荷在使材料屈服之后还继续增加，则进入图中曲线右部的强化段。

即虽然材料已经屈服，但只有当应力继续增加时，应变才能继续增大。

在图中b点之后，试件产生颈缩现象，最后试件被拉断。

如果在塑性流动段的D′点，或强化段的H′点卸载，将能观测到沿着与OA平行的直线返回，当载荷为零是到达O′点或O′′点，即产生残余变形。

图7.1 低碳钢单向拉伸应力应变曲线有些高强度的合金钢并没有象低碳钢那样的屈服段，其单向拉伸的应力应变曲线如图7.2所示。

这种情况下屈服极限规定用产生0.2%塑性应变所对应的应力来表示，σ。

记为0.2图7.2 高强度合金钢单向拉伸应力应变曲线第七章 塑性力学的基本方程与解法如果以超过屈服极限的载荷循环加载，所得试验结果则象图7.3所示。

在实验中还发现，对于某些材料（图7.4），如果在加载（拉伸）屈服后完全卸载到O ′′点，然后接着反向加载（压缩），则其反向屈服点对应的应力绝对值s σ′′不仅小于s σ′，而且小于初始屈服应力的绝对值σ′。

这是德国的包辛格（Bauschinger, J.）最早发现的，称为包辛格效应。

图7.3 循环加载曲线示意图 图7.4 包辛格效应 当材料进入塑性状态后，如果不是单调加载，则应力和应变之间不仅不是单值函数的关系，而且当时的应变不仅和当时的应力有关，还和整个加载的历史有关。

同样，当时的应力不仅和当时的应变有关，而且也和整个变形的历史有关。

这就增加了问题的复杂性。

材料的特性不能简单的用应力应变关系来描述，而要用比较复杂的本构关系，即应力和整个变形历史的关系来描述。

此外，在实际工程问题中经常遇到的材料非线性问题往往不是单向应力状态，即不是一维问题。

要对三维问题单靠实验来确定应力张量和应变张量之间的关系几乎是不可能的。

因此，在建立非线性本构关系时，除去不能脱离实验基础之外，还必须有基本理论的指导。

二、刚塑性与弹塑性本构模型z 简化模型对于低碳钢一类材料，如果承载后产生的变形状态一直达到塑性流动段，为了简化起见，略去应力应变曲线中的上、下屈服极限等细节，可得到由线弹性段和塑性流动水平线段组成的简化模型，称为理想弹塑性模型（图7.5a ）：s s s s E E σεεεσεσεε=≤⎧⎨==>⎩当当 (1)在金属成型等问题中，由于塑性流动引起的塑性应变较大，而弹性应变因相比较小而将其忽略，则又可进一步简化为只有水平线段的刚塑性模型（图7.5b ）：研究生学位课弹塑性力学电子讲义 姚振汉0 0s s εσσσσε=<⎧⎨=>⎩当当(2)图7.5 理想弹塑性和刚塑性 当考虑材料强化性质时，可在理想弹塑性模型的基础上加以改进，采用线性强化弹塑性模型来近似：()1 + s s s s E E σεεεσσεεεε=≤⎧⎨=−>⎩当当 (3)针对一些没有明显屈服极限的材料，还可采用幂强化力学模型，即令n A σε= (4)其中n 为幂强化系数，其取值介于0与1之间，当0n →时，它就趋于刚塑性模型。

对于单轴应力状态来说，上述公式已经对材料的塑性性质作出了简明的描述。

但对于更普遍的三维应力状态，单有上述公式还不能对三维状态作出具体的描述。

首先，无论弹塑性模型或刚塑性模型，对于单轴应力状态，当应力从零开始增大、达到屈服极限s σ时，材料开始屈服，进入流动段。

对于三维应力状态如何判定材料开始屈服？其次还有进入流动段之后三维的应力和应变之间有怎样的关系？前者称为材料的屈服条件，后者为塑性应力应变关系。

z 屈服条件关于材料进入塑性状态的原因有过不同的假说。

伽里略曾认为材料进入塑性状态是由最大主应力所引起的，此后，圣维南又曾认为最大主应变能判断材料是否进入塑性状态。

这两个假说都被后来的实验所否定，因为在各向等压时，压应力可以远远超过材料的屈服极限s σ，而并不产生塑性变形。

1864年法国工程师特雷斯卡（Tresca, H.）在一系列金属挤压实验的基础上，发现变形的金属表面有很细的纹痕，其方向接近最大剪应力方向。

于是，他提出：在物体中，当最大剪应力max τ达到某一极限值时，材料便进入塑性状态。

当σσσ123≥≥时，特雷斯卡条件为2k σσ13−=(5)第七章 塑性力学的基本方程与解法其中k 可由单向拉伸或其它材料试验测得的s σ确定，2s k σ=。

当不能确定主应力的排序时，在以三个主应力为坐标轴的应力空间中，由特雷斯卡条件所包围的弹性状态的应力空间为23312, 2, 2k k k σσσσσσ12−≤−≤−≤ (6)这是其轴线与三个主应力坐标轴等倾的正六面棱柱。

该棱柱过坐标原点的直截面就是三个主应力坐标轴的等倾面，称π平面。

三个主应力轴在该面上投影互相成120o 角。

在π平面上，特雷斯卡条件是一个正六边形 (图7.6)。

图7.6 等倾面上的屈服条件1913年德国力学家米赛斯（von Mises, R.）指出，在等倾面上，特雷斯卡六边形的六个顶点是实验得到的，但连接这六个点的直线却具有假设的性质。

作为近似，他提出，将这些点用一个圆连接起来，这样可避免屈服条件不能用单一公式表达带来的困难。

于是米赛斯条件将特雷斯卡条件的六棱柱面改成了圆柱面，其表达式为()()()2222232R σσσσσσ1231−+−+−= (7)米赛斯提出这一条件时，并未认为它是准确的条件，但是实验结果却表明，对于韧性金属材料，此条件比特雷斯卡条件更接近实际情况。

1924年德国力学家亨奇（Hencky, W. H.）经过反复研究，对米赛斯条件作了物理解释：当弹性体的形变比能（歪形能）s W 达到一定值时，材料进入屈服状态。

()()()2222331112s V W W W G σσσσσσ12⎡⎤=−=−+−+−⎣⎦ (8)z 流动法则（增量理论的塑性应力应变关系）在塑性变形阶段，应力应变关系是非线性的。

应变不仅与即时的应力状态有关，而且还和变形历史有关。

如果不知道变形历史，便不能只根据即时应力状态唯一地确定塑性应变状态；只知道最终的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。

为了考虑变形历史，就要研究应力和应变增量之间的关系。

以这种关系为基础的理论称为塑性力研究生学位课弹塑性力学电子讲义 姚振汉学的增量理论。

对于理想刚塑性材料增量理论之一的莱维（Levy, M ）－米赛斯理论（1913）基于如下假设：材料是不可压缩的、满足米赛斯屈服条件，应变偏量的增量与应力偏量成比例。

于是可以写出d 3d d , d 2pe ij ij se s ελλσ== (9)其中d p e ε是塑性应变强度增量，d e ε=(10)当弹性应变和塑性应变相比不可忽略时，就要采用弹塑性模型。

即使对于塑性变形很大的金属成型问题，为了考虑成型后的弹性回弹，也必须用弹塑性模型。

对于理想弹塑性材料的增量理论之一是普朗特（Prandtl, L ）－罗伊斯（Reuss, E.）理论（1924，1930）。

此时假设：屈服条件采用米赛斯条件，应变增量等于弹性应变增量和塑性应变增量之和，即d d de p ij ij ij εεε=+ (11)而塑性应变偏量的增量与应力偏量成比例d d p ij ije s λ= (12)于是其塑性本构方程可写成3d 1d d 22p e ij ij ij se s s G εσ=+ (13)z 全量理论（简单加载情况下的塑性应力应变关系） 除去上述增量理论之外，在塑性力学中还有全量理论，例如前苏联力学家伊柳辛（Ilyushin, A. A.）1943年提出的小弹塑性形变理论就是其中之一。

这种理论假设：体积应变始终是弹性的，即Θθ=3Κ (14)应力偏量与应变偏量成比例 ij ij e s λ=(15)而应力强度与应变强度之间存在单一的函数关系第七章 塑性力学的基本方程与解法()e e σϕε=(16)于是可得 32e ij ij e e s εσ= (17)伊柳辛理论主要适用于简单加载、幂强化材料的小变形情况。

所谓简单加载是指在加载过程中物体各点处的偏应力分量ij s 保持比例不变。

在工程允许精度下，也可推广应用于稍为偏离简单加载的情况。

以上各种理论中涉及的一些假设，例如：塑性应变偏量的增量与应力偏量成比例，以及应力强度和应变强度之间存在单一的函数关系等假设，都得到了常用金属材料大量试验的验证。

z 强化规律对于理想弹塑性材料，材料一旦屈服，其应力状态点在主应力空间中就落在屈服条件所描述的屈服面上，而当卸载时就按弹性规律回到屈服面内。

对于弹塑性强化材料，其单轴应力状态的应力应变曲线如前面图7.1所示。

若在强化后卸载，再重新加载，则屈服极限已经不是材料首次进入屈服时的屈服极限，而是最近这次从塑性状态卸载时由强化提高了的屈服极限。

前者称为初始屈服极限，后者则称为后继屈服极限。

如果初始屈服条件表示为()0ij f σ=(18)则强化条件下的后继屈服条件可表示为 (), 0ij f H ασ= (19)a) 等向强化 b) 随动强化图7.7 等向强化与随动强化研究生学位课弹塑性力学电子讲义 姚振汉其中H α是包括强化参数在内的反映材料变形历史的参数，它们可以是标量，也可以是张量。

随着强化参数由0增大，在π面上画出的屈服面随之变化。

根据不同材料的试验结果，有些材料的后继屈服面与初始屈服面相比是成比例地扩大，即在塑性变形过程中，在应力空间各方向强化的程度相同（图7.7a ）。

这种强化称为等向强化，也称各向同性强化。

其后继屈服条件可写成()()(), 0ij ij f H F H αασϕσ=−=(20)其常见形式为 ()()(), 0ij ij p f H F W ασϕσ=−=(21)()()()(), d 0p ij ij e f H F ασϕσε=−=∫ (22)在前一种形式中采用塑性功作为强化参数，在后一种形式中采用累积的等效塑性应变作为强化参数。

除等向强化外，有些强化材料表现为随动强化（图7.7b ），即，在强化过程中，屈服面的大小和形状保持不变，只随塑性变形的发展而在应力空间中平移。