积分变换练习题 第一章 Fourier 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§1 Fourier 积分 §2 Fourier 变换一、选择题1．设0()()f t t t δ=-，则[()]f t =F [ ] （A ）1 （B ）2π （C ）0j t eω （D ）0j t eω-000[()]()i t i t i t t t f t t t e dt e e ωωωδ∞---=-∞⎛⎫=-== ⎪⎝⎭⎰F 二、填空题1．设0a >，,0(),0at at e t f t e t -⎧<=⎨>⎩，则函数()f t 的Fourier 积分表达式为2202cos atdt a ωπω∞+⎰ 000()()00()()2201()[()]()==lim lim 112=lim lim ;()112[()]()=22i t at i t at i t R a i t a i tR R R R a i t a i t R R R i tF f t f t e dt e e dt e e dt e dt e dt e e a a i a i a i a i a F F e d ωωωωωωωωωωωωωωωωωππ∞∞-----∞-∞-+-→∞→∞--+-→∞→∞-∞--∞==+++=+=-+-+-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰F F 22220(cos sin )2cos =a t i t d a a t d a ωωωωωωπω∞-∞∞⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎰⎰ 2．设[()]()f t δω=F ，则()f t =12π1111[()]()=222i ti t e d e ωωωδωδωωπππ∞-=-∞⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰F 3．设2()sin f t t =，则[()]f t =F ()[(2)(2)]2ππδωδωδω-++-2221cos2[()]()=sin 211()()[(2)(2)]242i t i t i t i t it it i tt f t f t e dt te dt e dt e dt e e e dt ωωωωωππδωδωδω∞∞∞----∞-∞-∞∞∞----∞-∞⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+=-++- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰F4．设()δt 为单位脉冲函数，则2()cos ()3πδ+∞-∞+=⎰t t dt 14221()cos ()cos ()334t t dt ππδ+∞-∞⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎰ 三、解答题1．求下列定积分： (可用《高等数学》的方法做)1(1)sin azebzdz ⎰ 1(2)cos azebzdz ⎰1()111()0000222222101(cos sin )((cos sin )1)()cos sin 1sin cos (cos sin )(co a ib z a ib az az ibz a ib za a a a a azaxe e e bz i bz dz e e dz e dz a iba ibe b i b a ib ae b be b ae b be b b i a b a b a b I e bz i bz dz e +++-+====+++-+--+-==++++=+=⎰⎰⎰⎰在原积分中，由于被积函数解析，则1111s sin ),cos Re ;sin Im ax ibx azaz bx i bx dx e e dx e bzdz I e bzdz I+===⎰⎰⎰⎰从而 2．求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ≤≤⎧=⎨⎩其他的Fourier 变换。

(1)[()]()=Ai i ti tA e f t f t edt Aedt i τωωωω∞----∞-==⎰⎰F3．求下列函数的Fourier 积分： ,||1(1)()0,||1t t f t t ≤⎧=⎨>⎩，解法一：1112221()()=1112sin (cos )112sin ()()(cos )2212sin (cos )(cos sin )22sin sin cos sin i ti t i ti i i ti t F f t edt te dti ti i ie e e if t F e d e d it i t d t tωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωππωωωωωωωπωωωωωωωπ∞---∞----∞∞-∞-∞∞-∞=++-==-=-==-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰；2d ωω∞⎰解法二：由于f(t)为奇函数，故由课本P12页的(1.12)式可知，100001110000010022()()sin sin sin sin 2121cos sin cos cos sin 21sin 21sin cos sin cos f t f d td d td d td d td td τωττωωτωττωωππτωτωωτωτωττωωπωπωωτωωωωωπωωπωω∞∞∞∞∞∞⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤--=⋅=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤--⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰02sin 2sin cos sin td td ωωωωωωωπω∞∞-=⎰⎰110,1,1,10,(2)()1,01,0,1.()()()=()(cos sin )2()sin 2cos 2(cos 1)2sin 112(cos ()()=22i ti tt t f t t t f t F f t edt f t t i t dt i f t tdti ti i tdt i f t F e dt ωωωωωωωωωωωωωππ∞∞∞--∞-∞∞-∞-∞<<-⎧⎪--<<⎪=⎨<<⎪⎪<<+∞⎩=-=--=-===⎰⎰⎰⎰⎰解法一：为奇函数，从而1)(cos 1)(cos sin )2(1cos )sin i t e dtit i t tdt dtωωωωωωωπωπω∞-∞∞∞-∞--+-==⎰⎰⎰解法二：同上题，根据余弦逆变换公式可得：10000100022()()sin sin sin sin 2cos 21cos sin sin f t f d tdt d tdttdt tdt τωττωωττωππωτωωωπωπω∞∞∞∞∞⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤--==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰4．求函数sin ,||()0,||t t f t t ππ≤⎧=⎨>⎩的Fourier 积分,并计算下列积分：2sin ,||sin sin 210,||t t t d t ππωπωωωπ+∞⎧≤⎪=⎨-⎪>⎩⎰解：同上题，0000000022()()sin sin sin sin sin 11sin(1)sin(1)[cos(1)cos(1)]sin sin 111sin(1)sin(1)11f t f d tdt d tdtd tdt tdt ππππτωττωτωττωππωτωτωτωττωωππωωωπωππωω∞∞∞∞∞⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤+-=-+--=--⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦+-⎡⎤=--⎢+-⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰220002sin sin 2sin sin sin 11t ttdt dt dt ωπωωπωωπωπω∞∞∞=-=⎥--⎦⎰⎰⎰(0)(0)0.2f f t πππ±++±-=±=当时，从而2sin ,||sin sin 210,||t t t d t ππωπωωωπ+∞⎧≤⎪=⎨-⎪>⎩⎰5．设a 为实数，求积分j 21a e d ωωω+∞-∞+⎰的值。

(分别讨论a 为正实数和负实数的情形) 222201()12Res[(),]2lim ;102Res[(),]2lim .11ia iaz iaza z i ia ia iaz iaz a z i a R z z i z e e d i R z e i i e z ia e e e d d i R z e i i e z i ωωσσωωπππωωσπππωσ+∞--∞→--=-+∞+∞--∞-∞→>==+===++<====+++⎰⎰⎰当时，在上半平面只有一个奇点，从而当时，解法二：参考课本146页Fourier 变换表中的21，即222[]Re()0c tce c c ω-=<+， 取c=-1，从而-22[]1te ω=+，则积分 j 122j 211[]211221taa t a t aa ae e ed e d eωωωπωωωπω--+∞--∞==+∞--∞===++⇒=+⎰⎰积分变换练习题 第一章 Fourier 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§3 Fourier 变换的性质 §4 卷积与相关函数一、选择题1．设[()]()f t F ω=F ，则[(2)()]t f t -=F [ ] （A ）()2()F F ωω'- （B ）()2()F F ωω'-- （C ）()2()iF F ωω'- （D ）()2()iF F ωω'-- （利用Fourier 变换的线性性质和象函数的导数公式）2．设[()]()f t F ω=F ，则[(1)]f t -=F [ ] （A ）()j F eωω- （B ）()j F eωω-- （C ）()j F eωω （D ）()j F eωω-1(1)()[(1)](1)()()()()t s i t i s i i s i f t f t e dt f s e ds e f s e ds e F ωωωωωω-=+∞-∞----∞+∞+∞-----∞⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎪==-⎝⎭⎰⎰⎰ 二、填空题1．设23[()]1f t ω=+F ，则()f t =-32te-2--22--[]1333[]()212ttte e ef t ωω⎛⎫= ⎪+ ⎪ ⎪=⇒= ⎪+⎝⎭由1三5解法二中的分析可知：，从而2．设()()tf t e u t -=⋅，则[()]f t =F 。

()()Fourier ['()][()]()()()()()()()()()[][()()][()][()]()[][t tt t tt t tt t u t d f t i f t g t e u t e d dg t e d e t g t e t dt dg t g t e t g t e t dt dg t i g dt δττωδττδττδδδδω-∞---∞----∞--===⋅==-+=-+=-+=-+=⎰⎰⎰已知单位阶跃函数，及变换的微分性质：令，则，即，又由(1)(1)0()]()[()]1[()]=()1111111t i tt i t i tt t e t e dt e t g t t e dt i i i e i i ωωωδδδωωωωω+∞---+∞-+-∞-∞-+=⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪=⋅= ⎪++⎝⎭⎰⎰，从而三、解答题1．若()[()]F f t ω=F ，且0a <，证明：1[()]()f at F a aω=-F 11[()]()=()()()s s at i i s i taa ds f at f at edt f s ef s e ds F a a a aωωωω∞-∞∞=-⋅-⋅--∞+∞-∞==-=-⎰⎰⎰2．若()[()]F f t ω=F ，证明：()[()]dF jtf t d ωω=-F 11[()]()111[()]()()()22211()()()()()22i ti ti ti ti t dF itf t d d d d F F e d F e F e d d d d F ite d it F e d it f t ωωωωωωωωωωωωωωπωππωωωωωππ-∞∞∞--∞-∞-∞∞∞-∞-∞=-==-=-=-=-⎰⎰⎰⎰即证：3．已知某函数的Fourier 变换为sin ()F ωωω=，求该函数()f t 。