2-12体。

设外壳脱离主体时相对于主体的速度为0，只有当下一级火箭发动后，才将上一级的外壳甩在后边。

求第三级火箭的最终速率；(2)若把48t 燃料放在12t 的外壳里组成一级火箭，问火箭最终速率是多少。

解: (1) p.50的 (2.10)式可写成⎰⎰=-⇒-=vv mm mm c v v mdm c dv 000ln对第一级火箭: 3ln 2500406060ln2500ln01=-==mm c v .对第二级火箭: 3ln 50003/201010ln250012=-+=v v .对第三级火箭:s m v v /6.82393ln 75003/211ln250023==-+=.(2 )s m v /6.40235ln 2500486060ln 2500==-=.2-13 一宇宙飞船以恒速v 在空间飞行，飞行过程中遇到一股微尘粒子流，后者以dm/dt 的速率沉积在飞船上。

尘粒在落到飞船之前的速度为u ，方向与v 相反，在时刻t 飞船的总质量为M (t )，试问：要保持飞船匀速飞行，需要多大的力？ 解: 由动量定理得: ])([)]()([dm u v t M v d v dm t M P P+-++=-dt F dm u d v v d t M=-+≈)()( 两边求导得: F dtdmu v dt vd t M =-+)()(. ∵要求飞船匀速, 即 0=dt vd , u v 与的方向相反, 以v 为正向, 则dtdmu v F )( -=，即dtdm u v F )(+= 为向前的推力（此式的v 、u 为绝对值）.2-14 一水平传送带将沙子从一处运送到另一处，沙子经一垂直的静止漏斗落到传送带上，传送带以恒定速率v 运动着(见本题图)。

忽略机件各部位的摩擦。

若沙子落到传送带上的速率是dm ／dt ，试问：(1)要保持传送带以恒定速率v 运动，水平总推力F 多大？(2)若整个装置是：漏斗中的沙子落进以匀v 在平直光滑轨道上运动的货车里(见本题图b)，以上问题的答案改变吗？解: (1) 在水平方向上, 由动量定理得:Fdt vdm mdv mv dv v dm m =+≈-++))((，两边求导得 dtdm vdtdv mF +=.即要求传送带以匀速运动时,水平总推力为 dtdm v F =(向前)(2) 光滑水平直轨道上,若没有沙子漏入,则只启动时用力,以后不用力,车子以匀速v 前进.现在沙子进来,也要保持匀速,便需用力了.因为车子越来越重, 用力公式同上； 即沙子持续进来,便要持续施力dtdm vF = ,问题的答案不改变.2-15 一质量为m 的质点在x-y 平面上运动，其位矢为 r = a cos ωt i +b sin ωt j ，求质点受力的情况。

解: t b y t a x si n , cos ωω== , 轨迹为12222=+by ax 的椭圆. 又jt b i t a j dtdy i dt dx vωωωωsin sin +-=+=，r j t b i t a dt v d a222sin cos ωωωωω-=--==.质点受力 r m a m f2ω-==，恒指向原点.2-16 如本题图所示，一质量为m A 的木块A 放在光滑的水平桌面上，A 上放置质量为m B 的另一木块B ，A 与B 之间的摩擦系数为μ，现施水平力推A ，问推力至少为多大时才能使A 、B 之间发生相对运动。

解: 对B : 0=-g m N B ,N a m f B B r μ==；得 g m a B B μ=. 对A : A A B r a m g m F f F =-=-μ ,得 AB A m gm F a μ-=.当B A a a > 时, A,B 之间发生相对运动, 即要求g m m F B A )(+>μ.2-17 如本题图所示，质量为m 2的三角形木块，放在光滑的水平面上，另一质量为m 1的立方木块放在斜面上。

如果接触面的摩擦可以忽略，两物体的加速度各若干？ 解: 对m 1: ⎩⎨⎧-=-=g m N a m N a m y x 1211211cos si n θθ, 对m 2 : ⎪⎩⎪⎨⎧=--==0cos si n 222122222y y x a g m N N a m N a m θθ;又由运动学关系:211'a a a-=, xx y y x y a a a a a a 212111''tan --==θ, 解得 θtg a a a x x y )(211-=;代入运算最后得 θθθc o s s i n N ,s i n N 2122122212211m m g m m g m m m m m +=++=;⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++-=++-=++-=+-=θθθθθθθθθθctg m tg m m gtg m m m m g m m a ctg m tg m m g m m m g m a y x221212212211221221221)()(sin sin )()(sin cos sin ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=0)(sin cos sin 2221121212y x a ctg m tg m m g m m m g m a θθθθθ2-18 在桌上有一质量m 1的木板。

板上放一质量为m 2的物体。

设板与桌面间的摩擦系数为μ1，物体与板面间的摩擦系数为μ2，欲将木板从物体下抽出，至少要用多大的力？ 解: ,111N f μ= g m m N )(211+=; ,222N f μ= g m N 22=.又 2121a m f f F =--, 222a m f =, 且要求 21a a >; 由此得 g m m F ))((2121++>μμ.2-19 设斜面的倾角θ是可以改变的，而底边不变。

求(1)若摩擦系数为μ，写出物体自斜面顶端从静止滑到底端的时间，与倾角θ 的关系，(2)若斜面倾角θ1= 60︒与θ2 = 45︒时，物体下滑的时间间隔相同，求摩擦系数μ．解: (1)摩擦力θμμcos mg N f ==,由运动方程ma f mg =-θsin ,得)cos (sin θμθ-=g a .此外由 221cos at d S ==θ, 可得 21])cos (sin cos 2[θμθθ-=g dt .(2) 又由 2121])45cos 45(sin 45cos 2[])60cos 60(sin 60cos 2[μμ-=-g dg d,可得 268.03221412121232145cos 60cos 45sin 45cos 60sin 60cos 22=-=--=--=μ2-20 本题图中各悬挂物体的质量分别为：m 1=3.0kg , m 2=2.0kg , m 3=1.0kg ．求m 1下降的加速度。

忽略悬挂线和滑轮的质量、轴承摩擦和阻力，线不可伸长。

解: 各悬挂物体的运动方程分别为：1121112a m T g m T g m =-=-, 2222a m T g m =-, 3332a m g m T =-;运动学关系: 12'a a a -=, 13'a a a +=（其中a ’为m 2 , m 3相对于滑轮的加违度）; 由此可得:232321323211/58.0124)12(3124)12(34)(4)(s m g g m m m m m m m m m m a =⨯⨯⨯++⋅⨯⨯-+⋅=++-+=.2-21 在本题图所示装置中，m 1与m 2及m 2与斜面之间的摩擦系数都为μ，设m 1>m 2，斜面的倾角θ 可以变动。

求θ 至少为多大时m 1、m 2才开始运动。

略去滑轮和线的质量及轴承的摩擦，线不可伸长。

解: m 2、m 2和斜面之间的摩擦力分别为θμμcos 111g m N f ==,θμμcos )(2122g m m N f +==; m 2、m 2的运动方程为 T f g m a m --=111s i n θ,f fg m T a m ---=122sin θ.由此可解出 g m m m m m m a 212121)3(s i n )(++--=μθ要求m 2、m 2开始运动，相当于要求0>a ; 由上式可得 μθ21213m m m m tg -+>.2-22 如本题图所示装置，已知质量m 1、m 2和m 3，设所有表面都是光滑的，略去绳和滑轮质量和轴承摩擦。

求施加多大水平力F 才能使m 3不升不降。

解: 运动方程为 a m m m F )(321++=, a m T 2=, 03=-T g m ;由此可得 g m m m m m F )(32123++=.。