圆 的 方 程(25分钟 50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·汉中模拟)设圆的方程是x 2+y 2+2ax+2y+(a-1)2=0,若0<a<1,则原点与圆的位置关系是 ( ) A.原点在圆上 B.原点在圆外 C.原点在圆内D.不确定【解析】选B.将圆的一般方程化成标准方程为(x+a)2+(y+1)2=2a, 因为0<a<1,所以(0+a)2+(0+1)2-2a=(a-1)2>0, 即√(0+a)2+(0+1)2>√2a ,所以原点在圆外.2.(2015·南昌模拟)若圆x 2+y 2-2ax+3by=0的圆心位于第三象限,那么直线x+ay+b=0一定不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【解析】选D.圆x 2+y 2-2ax+3by=0的圆心为(a,−32b),则a<0,b>0.直线y=-1ax-b a,k=-1a>0,-b a>0,直线不经过第四象限.3.已知平面上点P ∈{(x,y)|(x-x 0)2+(y-y 0)2=16},其中x 02+y 02=4,当x 0,y 0变化时,则满足条件的点P 在平面上所组成图形的面积是 ( ) A.4πB.16πC.32πD.36π【解析】选C.由题意可得,点P 在圆(x-x 0)2+(y-y 0)2=16上, 而且圆心(x 0,y 0)在以原点为圆心,以2为半径的圆上.满足条件的点P 在平面内所组成的图形的面积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积,即36π-4π=32π,故选C.4.若圆x 2+y 2-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b 成轴对称图形,则a-b 的取值范围是( )A.(-∞,4)B.(-∞,0)C.(-4,+∞)D.(4,+∞)【解析】选A.将圆的方程变形为(x-1)2+(y+3)2=10-5a,可知,圆心为(1,-3),且10-5a>0,即a<2.因为圆关于直线y=x+2b对称,所以圆心在直线y=x+2b上,即-3=1+2b,解得b=-2,所以a-b<4. 【方法技巧】两种对称问题的解决方法(1)点(a,b)关于直线y=x+m的对称点坐标为(b-m,a+m).(2)点(a,b)关于直线y=-x+m的对称点坐标为(-b+m,-a+m).5.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.πB.4πC.8πD.9π【解析】选B.设P(x,y),由题意有,(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理得x2-4x+y2=0,配方得(x-2)2+y2=4.可知圆的面积为4π.【加固训练】如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A,B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.【解析】设AB的中点为R,坐标为(x1,y1),连接OR,PR,则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|.又R是弦AB的中点,所以在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x12+y12),又|AR|=|PR|=√(x1−4)2+y12,所以有(x1-4)2+y12=36-(x12+y12),即x12+y12-4x1-10=0.因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,点Q即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y),因为R是PQ的中点,所以x 1=x+42,y 1=y+02,代入方程x 12+y 12-4x 1-10=0,得(x+42)2+(y 2)2-4×x+42-10=0,整理得:x 2+y 2=56,即所求Q 点的轨迹方程为x 2+y 2=56.6.(2015·漳州模拟)能够把圆O:x 2+y 2=25的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“太极函数”,下列函数不是圆O 的“太极函数”的是 ( ) A.f(x)=4x 3+x B.f(x)=ln6−x 6+xC.f(x)=tan x2D.f(x)=e x+e -x【解析】选D.圆O:x 2+y 2=25的圆心在原点,半径等于5, 由题意可得,圆O 的“太极函数”应该为奇函数,结合所给的选项,A,B,C 中的函数都是奇函数,而D 中的函数为偶函数. 7.(2015·长春模拟)已知函数f(x)=1+x-x 22+x 33-x 44+…+x 2 0132 013,设F(x)=f(x+4),且函数F(x)的零点均在区间[a,b],(a<b,a,b ∈Z)内,圆x 2+y 2=b-a 的面积的最小值是( )A.πB.2πC.3πD.4π【解析】选A.因为f(x)=1+x-x 22+x 33-x 44+…+x 2 0132 013,所以当x<-1或x>-1时,f ′(x)=1-x+x 2-x 3+…+x2012=1+x 2 0131+x>0.而当x=-1时,f ′(x)=2013>0,所以f ′(x)>0对任意x ∈R 恒成立,得函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数, 因为f(-1)=(1-1)+(−12−13)+…+(−12 012−12 013)<0,f(0)=1>0,所以函数f(x)在R 上有唯一零点x 0∈(-1,0),因为F(x)=f(x+4),得函数F(x)的零点是x 0-4∈(-5,-4), 所以a ≤-5且b ≥-4,得b-a 的最小值为-4-(-5)=1, 因为圆x 2+y 2=b-a 的圆心为原点,半径r=√b −a ,所以圆x 2+y 2=b-a 的面积为πr 2=π(b-a)≥π,可得面积的最小值为π,故选A. 二、填空题(每小题5分,共15分)8.若过点P(a,a)可作圆x 2+y 2-2ax+a 2+2a-3=0的两条切线,则实数a 的取值范围是 .【解析】圆的方程可化为(x-a)2+y 2=3-2a,因为过点P(a,a)能作圆的两条切线,所以点P 在圆的外部,即{a 2+a 2−2a 2+a 2+2a −3>0,3−2a >0,解之得a<-3或1<a<32.故a 的取值范围为(-∞,-3)∪(1,32).答案:(-∞,-3)∪(1,32)9.(2015·长沙模拟)已知圆M 的圆心在直线x-y-4=0上并且经过圆x 2+y 2+6x-4=0与圆x 2+y 2+6y-28=0的交点,则圆M 的标准方程为 . 【解析】设两圆交点为A,B,由方程组{x 2+y 2+6x −4=0,x 2+y 2+6y −28=0,求得{x =−1,y =3,或{x =−6,y =−2, 故点A(-1,3),B(-6,-2),因此AB 的垂直平分线的方程为x+y+3=0.再由{x +y +3=0,x −y −4=0,求得{x =12,y =−72,故圆心为(12,−72),r=√892,所以所求的圆的方程为(x −12)2+(y +72)2=892.答案:(x −12)2+(y +72)2=892【加固训练】若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x 轴都相切,则该圆的标准方程是 .【解析】设圆心C(a,b)(a>0,b>0),由题意可得b=1. 又圆心C 到直线4x-3y=0的距离d=|4a−3|5=1,解得a=2或a=-12(舍去).所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. 答案:(x-2)2+(y-1)2=110.(2015·聊城模拟)已知x,y 满足x 2+y 2=1,则y−2x−1的最小值为 .【解析】y−2x−1表示圆上的点P(x,y)与点Q(1,2)连线的斜率,所以y−2x−1的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率.设直线PQ 的方程为y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0.由√k 2+1=1得k=34,结合图形可知,y−2x−1≥34,故最小值为34.答案:34(20分钟 40分)1.(5分)(2015·九江模拟)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是 ( ) A.-43B.-54C.-35D.-53【解析】选A.圆C 的方程可化为(x-4)2+y 2=1,易知圆C 的圆心为(4,0),半径为1.由题意知,直线y=kx+2上存在一点A,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则AC ≤1+1成立,即AC ≤2. 因为AC=√k 2+1,所以√k 2+1≤2,解得-43≤k ≤0.所以k 的最小值是-43,选A.2.(5分)已知圆C 关于y 轴对称,经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2,则圆C 的方程为 ( ) A.(x ±√33)2+y 2=43 B.(x ±√33)2+y 2=13 C.x 2+(y±√33)2=43D.x 2+(y±√33)2=13【解析】选C.由已知圆心在y 轴上,且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π,设圆心(0,a),半径为r,则rsin π3=1,rcos π3=|a|,解得r=√3,即r 2=43,|a|=√33,即a=±√33,故圆C 的方程为x 2+(y ±√33)2=43. 3.(5分)(2014·温州模拟)已知直线√2ax+by=1(a,b 是实数)与圆O:x 2+y 2=1(O 是坐标原点)相交于A,B 两点,且△AOB 是直角三角形,点P(a,b)是以点M(0,1)为圆心的圆M 上的任意一点,则圆M 的面积的最小值为 .【解析】因为直线与圆O 相交所得△AOB 是直角三角形,可知∠AOB=90°, 所以圆心O 到直线的距离为√2a 2+b2=√22, 所以a 2=1-12b 2≥0,即-√2≤b ≤√2.设圆M 的半径为r,则r=|PM|=√a 2+(b −1)2=√12b 2−2b +2=√22(2-b), 又-√2≤b ≤√2,所以√2+1≥|PM|≥√2-1, 所以圆M 的面积的最小值为(3-2√2)π. 答案:(3-2√2)π【加固训练】已知点P(2,2),点M 是圆O 1:x 2+(y-1)2=14上的动点,点N 是圆O 2:(x-2)2+y 2=14上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是 ( ) A.√5-1B.√5-2C.2-√5D.3-√5【解析】选D.|PN|-|PM|的最大值是|PO 2|+12-(|PO 1|−12)=|PO 2|-|PO 1|+1=2-√5+1=3-√5.4.(12分)已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P 满足:AP →·BP →=k|PC →|2.(1)求动点P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型. (2)当k=2时,求|2AP →+BP →|的最大、最小值.【解析】(1)设动点坐标为P(x,y),则AP →=(x,y-1),BP →=(x,y+1),PC →=(1-x,-y). 因为AP →·BP →=k|PC →| 2, 所以x 2+y 2-1=k[(x-1)2+y 2], 整理得(1-k)x 2+(1-k)y 2+2kx-k-1=0.若k=1,则方程为x=1,表示过点(1,0)且平行于y 轴的直线. 若k ≠1,则方程为(x+k 1−k)2+y 2=(11−k)2.表示以(kk−1,0)为圆心,以1|1−k|为半径的圆.(2)当k=2时,方程化为(x-2)2+y 2=1,因为2AP →+BP →=(3x,3y-1), 所以|2AP →+BP →|=√9x 2+9y 2−6y +1.又x 2+y 2=4x-3,所以|2AP →+BP →|=√36x −6y −26=√6(6x −y)−26.问题归结为求6x-y 的最值,令t=6x-y,由于点P 在圆(x-2)2+y 2=1上,故圆心到直线t=6x-y 的距离不大于圆的半径,即√37≤1,解得12-√37≤t ≤12+√37,结合|2AP→+BP→|=√6(6x −y)−26,得|2AP→+BP→|的最大值为√46+6√37√37,最小值为√46−6√37√37-3. 【一题多解】本题还可以用以下方法求解方法一:问题归结为求6x-y 的最值,令t=6x-y,则y=6x-t,代入圆的方程,得到一个关于x 的一元二次方程,根据这个方程的判别式不小于零得到与原解析完全相同的结果. 方法二:因为(x-2)2+y 2=1,所以令x=2+cos θ,y=sin θ, 则36x-6y-26=6√37cos(θ+φ)+46 ∈[46-6√37,46+6√37],所以|2AP →+BP →|的最大值为√46+6√37√37,最小值为√46−6√37√37-3. 【方法技巧】解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合,根据圆的知识探求最值时的位置关系.解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面: (1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题. (2)研究图形的形状、位置关系、性质等.5.(13分)(能力挑战题)如图,已知圆O 的直径|AB|=4,定直线l 到圆心的距离为4,且直线l 垂直于直线AB.点P 是圆O 上异于A,B 的任意一点,直线PA,PB 分别交l 于M,N 两点.(1)若∠PAB=30°,求以MN 为直径的圆的方程.(2)当点P 变化时,求证:以MN 为直径的圆必过圆O 内的一定点.【解析】如图,建立直角坐标系,得☉O 的方程为x 2+y 2=4,直线l 的方程为x=4.(1)当点P 在x 轴上方时, 因为∠PAB=30°,所以点P 的坐标为(1,√3), 所以l AP :y=√33(x+2),l BP :y=-√3(x-2). 将x=4分别代入,得M(4,2√3),N(4,-2√3), 所以线段MN 的中点坐标为(4,0),|MN|=4√3. 所以以MN 为直径的圆的方程为(x-4)2+y 2=12. 同理,当点P 在x 轴下方时,所求圆的方程仍是 (x-4)2+y 2=12.综上,以MN 为直径的圆的方程为(x-4)2+y 2=12. (2)设点P 的坐标为(x 0,y 0),则y 0≠0,所以x 02+y 02=4(y 0≠0),所以y02=4-x02.因为l PA:y=y0x0+2(x+2),l PB:y=y0x0−2(x-2),将x=4分别代入,得y M=6y0x0+2,y N=2y0x0−2,所以M(4,6y0x0+2),N(4,2y0x0−2),所以|MN|=|6y0x0+2−2y0x0−2|=4|x0−4||y0|,线段MN的中点坐标为(4,−4(x0−1)y0),以MN为直径的圆O′截x轴所得的线段长度为2√4(x0−4)2y02−16(x0−1)2y02=4|y0|√12−3x02=4√3|y0|√4−x02=4√3.则圆O′与x轴的两交点坐标分别为(4-2√3,0),(4+2√3,0). 又(4-2√3)2+02=28-16√3<4,(4+2√3)2+02=28+16√3>4,所以☉O′必过☉O内定点(4-2√3,0).。