随机变量及其分布、数学期望、方差1. 已知(1,2),(,)a b x y =-=，（Ⅰ）若x 是从1,0,1,2-四个数中任取的一个数，y 是从1,0,1-三个数中任取的一个数，求a b ⊥的概率．（Ⅱ）若x 是从区间[1,2]-中任取的一个数， y 是从区间[1,1]-中任取的一个数，求,a b 的夹角是锐角的概率．2. 为了控制甲型H1N1流感病毒传播，我市卫生部防疫部门提供了批号分别为1、2、3、4的4个批号疫苗，供全市所辖的三个区市民注射，为便于观察，每个区只能从中任选一个批号的疫苗进行接种．（I ）求三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率；（II ）记三个区中选择疫苗批号相同的区的个数为ξ，求ξ的数学期望．3.学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．(Ⅰ)求理科组恰好记4分的概率？(Ⅱ)设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．4. 某超市为促销商品,特举办“购物有奖100﹪中奖”活动.凡消费者在该超市购物满10元，享受一次摇奖机会，购物满20元，享受两次摇奖机会，以此类推.摇奖机的结构如图所示，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中,落入A 袋为一等奖，奖金为2元，落入B 袋为二等奖，奖金为1元．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12． （Ⅰ）求摇奖两次，均获得一等奖的概率；（Ⅱ）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X 元，试求X 的分布列与期望；(Ⅲ)若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不再享受摇奖），某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算.AB5. 一个口袋中装有大小相同的n 个红球（5n ≥且n ∈N ）和5个白球，每次从中任取两个球，当两个球的颜色不同时，则规定为中奖． （Ⅰ）试用n 表示一次取球中奖的概率p ；（Ⅱ）记从口袋中三次取球（每次取球后全部放回）恰有一次中奖的概率为m ，求m 的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当m 取得最大值时将5个白球全部取出后，对剩下的n 个红球作如下标记：记上i 号的有i 个（1,2,3,4i =），其余的红球记上0号，现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号，求X 的分布列、期望．6.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
（1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（3）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望。
7.某班50名学生在一模数学考试中，成绩都属于 区间[60，110]。
将成绩按如下方式分成五组： 第一组[60，70）；第二组[70，80）；第三组 [80，90）；第四组[90，100）；第五组[100，110]。
部分频率分布直方图如图所示，及格（成绩不 小于90分）的人数为20。
（1）请补全频率分布直方图；（2）在成绩属于[70，80）∪[90，100]的学生中任取 两人，成绩记为n m ,，求10||>-n m 的概率；（3）在该班级中任取4人，其中及极格人数记为随机变 量X ，写出X 的分布列（结果只要求用组合数表示），并求 出期望。
8. 由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数； （Ⅱ）若视力测试结果不低丁 5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．9.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为(490,495，(495,500]，……(510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．10.如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀．每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1．两个2．两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步（如由A到C），Array当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．（Ⅰ）求点P恰好返回到A点的概率；（Ⅱ）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的数学期望．11. 甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下，（1）求甲运动员击中10环的概率（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，ξ表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求ξ的分布列及Eξ.12. 一个口袋中有2个白球和n 个红球（2≥n ，且*N n ∈），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。
（1）试用含n 的代数式表示一次摸球中奖的概率P ；（2）若3=n ，求三次摸球恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为)(p f ，当n 为何值时，)(p f 最大。
13. 为了迎接2009年10月1日建国60周年，某城市为举办的大型庆典活动准备了四种保证安全的方案，列表如下：又可以与其它方案合用，合用时，至少有一种方案就能保证整个活动的安全。
（I ）若总经费在1200万元内（含1200万元），如何组合实施方案可以使安全系数最高？ （II ）要保证安全系数不小于0.99，至少需要多少经费？14. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（I ）估计这次测试数学成绩的平均分；（II ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ．15. 据某地气象部门统计，该地区每年最低气温在2C -以下的概率为13(1)设ξ为该地区从2005年到2010年最低气温在2C -以下的年数，求ξ的分布列. (2)设η为该地区从2005年到2010年首次遇到最低气温在2C -以下经过的年数，求η的分布列.(3)求该地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在2C -以下的概率. 16.经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？2. 解：（I ）三个区选择疫苗的批号的种数是6443=， …………（2分）恰好有两个区选择的疫苗批号相同种数是362423=A C ， …………（3分）三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率是169=P ；…………（6分） （II ）选择疫苗批号相同的区的个数ξ可能的取值为0，2，3， …………（8分）834)0(334===A P ξ，169)2(==ξP ，1614)3(314===C P ξ， …………（10分）（或者169)2(==ξP ，161)3(==ξP ，831611691)0(=--==ξP ）ξ分布列是1616316280=⨯+⨯+⨯=ξE ． …………（12分）3. 解：(Ⅰ)记“理科组恰好记4分”的事件为A ，则A 为“在理科组选出2名男生、1名女生或选出2名女生”……2分 共有2112254545260C C C C C ⋅⋅+⋅=种选法，基本事件数为312213959595870C C C C C C ⋅+⋅+⋅=……2分 所以26026()87087P A ==……2分 (Ⅱ) 由题意得0,1,2,3ξ=，所以204(0)870P ξ==，495(1)870P ξ==，162(2)870P ξ==，9(3)P ξ==， ……2分 于是ξ的分布列为……2分 （直接写出正确分布列的给4分）ξ的数学期望为2044951629141()0123870870870870145E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ……2分 4. 解：记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则小球落入A 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故()41212133=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=A P ，()()31.4P B P A =-= …………………2分(I) 获得两次一等奖的概率为()()161A P A P P =⋅= . …………………4分 （II ）X 可以取2,3,4P(X=2)=239,416⎛⎫= ⎪⎝⎭P(X=3)=12136,4416C ⨯= P(X=4)= 211.416⎛⎫= ⎪⎝⎭…………………8分 分布列为： 所以E ()X =2×169+3×166+4×161=2.5. …………………10分 (Ⅲ)参加摇奖,可节省2.5元，打折优惠,可节省2.4元,当然参加摇奖. ……12分5. （Ⅰ）每次从5n +个球中任取两个，有25n C +种方法．它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有115n C C 种， 一次取球中奖的概率为()()115251054n n C C np C n n +==++．……4分（Ⅱ）设每次取球中奖的概率为p ，三次取球中恰有一次中奖的概率是：()()21323311363m P C p p p p p ==⋅⋅-=-+（01p <<）． m 对p 的导数()()291233131m p p p p '=-+=--．……6分因而m 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，m 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数．∴当13p =，即()()101543n n n =++，20n =时，49max m =．……… 8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知：红球共20个，则记上0号的有10个红球，从中任取一球，有20种取法，它们是等可能的．故X 的分布列是：()111313E X 01234220102052=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……12分6. 【解析】记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，记B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种， 记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种。