第三章位置与坐标一、知识要点一、平面直角坐标系(一)有序数对:有顺序的两个数a与b组成的数对.1、记作(a ,b);2、注意:a、b的先后顺序对位置的影响。
(二)平面直角坐标系1、历史:法国数学家笛卡儿最早引入坐标系,用代数方法研究几何图形;2、构成坐标系的各种名称;3、各种特殊点的坐标特点.(三)坐标方法的简单应用1、用坐标表示地理位置;2、用坐标表示平移。
二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点:平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同;平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。
三、各象限的角平分线上的点的坐标特点:第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同;第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。
四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点:关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数五、特殊位置点的特殊坐标:六、利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下:•建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定x轴、y轴的正方向;•根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;•在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称。
知识一、坐标系的理解例1、平面内点的坐标是( )A 一个点B 一个图形C 一个数D 一个有序数对学生自测1.在平面内要确定一个点的位置,一般需要________个数据;在空间内要确定一个点的位置,一般需要________个数据.2、在平面直角坐标系内,下列说法错误的是( )A 原点O 不在任何象限内B 原点O 的坐标是0C 原点O 既在X 轴上也在Y 轴上D 原点O 在坐标平面内知识二、已知坐标系中特殊位置上的点,求点的坐标点在x 轴上,坐标为(x ,0)在x 轴的负半轴上时,x<0, 在x 轴的正半轴上时,x 〉0点在y 轴上,坐标为(0,y )在y 轴的负半轴上时,y 〈0, 在y 轴的正半轴上时,y 〉0第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同(即在y=x 直线上);坐标点(x,y )xy 〉0 第二、 四象限角平分线上的点的横纵坐标相反(即在y= -x 直线上);坐标点(x,y )xy<0例1 点P 在x 轴上对应的实数是3 ,则点P 的坐标是 ,若点Q 在y 轴上 对应的实数是31,则点Q 的坐标是 , 例2 点P (a —1,2a —9)在x 轴负半轴上,则P 点坐标是 。
学生自测1、点P (m+2,m-1)在y 轴上,则点P 的坐标是 .2、已知点A (m,-2),点B(3,m —1),且直线AB ∥x 轴,则m 的值为 .3、 已知:A (1,2),B (x,y),AB ∥x 轴,且B 到y 轴距离为2,则点B 的坐标是 。
4.平行于x 轴的直线上的点的纵坐标一定( )A .大于0B .小于0C .相等D .互为相反数(3)若点(a ,2)在第二象限,且在两坐标轴的夹角平分线上,则a= 。
(3)已知点P (x 2—3,1)在一、三象限夹角平分线上,则x= 。
5.过点A(2,—3)且垂直于y 轴的直线交y 轴于点B,则点B 坐标为( ).A .(0,2)B .(2,0)C .(0,-3)D .(-3,0)6.如果直线AB 平行于y 轴,则点A ,B 的坐标之间的关系是( ).A .横坐标相等B .纵坐标相等C .横坐标的绝对值相等D .纵坐标的绝对值相等知识点三:点符号特征。
点在第一象限时,横、纵坐标都为 ,点在第二象限时,横坐标为 ,纵坐标为 ,点有第三象限时,横、纵坐标都为 ,点在第四象限时,横坐标为 ,纵坐标为 ;y 轴上的点的横坐标为 ,x 轴上的点的纵坐标为 。
例1 .如果a -b <0,且ab <0,那么点(a ,b )在( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限,D 、第四象限.例2、如果xy <0,那么点P(x ,y )在( ) (A ) 第二象限 (B) 第四象限 (C) 第四象限或第二象限 (D) 第一象限或第三象限学生自测1.点P的坐标是(2,-3),则点P在第 象限.2、点P (x ,y )在第四象限,且|x|=3,|y |=2,则P 点的坐标是 .3.点 A 在第二象限 ,它到 x 轴 、y 轴的距离分别是 3 、2,则坐标是 ;4。
若点P(x ,y )的坐标满足xy ﹥0,则点P在第 象限;若点P(x,y)的坐标满足xy ﹤0,且在x 轴上方,则点P在第 象限.若点P (a ,b )在第三象限,则点P '(-a ,-b +1)在第 象限;5.若点P(m -1, m )在第二象限,则下列关系正确的是 ( )A.10<<mB.0<mC.0>mD.1>m6.点(x ,1-x )不可能在 ( ) A 。
第一象限 B 。
第二象限 C.第三象限 D 。
第四象限7.已知点P (102-x ,x -3)在第三象限,则x 的取值范围是 ( )A 。
53<<x B.3≤x ≤5 C 。
5>x 或3<x D.x ≥5或x ≤38.(本小题12分)设点P 的坐标(x ,y ),根据下列条件判定点P 在坐标平面内的位置:(1)0xy =;(2)0xy >;(3)0x y +=.(2)点A(1—π,2)在第 象限。
(3)横坐标为负,纵坐标为零的点在( )(A )第一象限 (B )第二象限 (C)X 轴的负半轴 (D)Y 轴的负半轴(4)如果a —b <0,且ab <0,那么点(a ,b )在( )(A )第一象限, (B )第二象限 (C)第三象限, (D )第四象限。
(5)已知点A (m ,n )在第四象限,那么点B (n ,m )在第 象限(6)若点P(3a-9,1-a)是第三象限的整数点(横、纵坐标都是整数),那么a=知识四:求一些特殊图形,在平面直角坐标系中的点的坐标.过点作x轴的线,垂足所代表的是这点的横坐标;过点作y轴的垂线,垂足所代表的实数,是这点的.点的横坐标写在小括号里第一个位置,纵坐标写小括号里的第个位置,中间用隔开。
例1、X轴上的点P到Y轴的距离为2.5,则点P的坐标为()A(2。
5,0) B (—2。
5,0) C(0,2。
5) D(2。
5,0)或(—2.5,0)学生自测1、点A(2,3)到x轴的距离为;点B(—4,0)到y轴的距离为;点C 到x轴的距离为1,到y轴的距离为3,且在第三象限,则C点坐标是。
2.若点A的坐标是(-3,5),则它到x轴的距离是,到y轴的距离是.3。
点P到x轴、y轴的距离分别是2、1,则点P的坐标可能为。
4.已知点M到x轴的距离为3,到y轴的距离为2,则M点的坐标为( ).A.(3,2) B.(-3,—2) C.(3,—2)D.(2,3),(2,—3),(—2,3),(-2,—3)5.若点P(a,b)到x轴的距离是2,到y轴的距离是3,则这样的点P有()A。
1个B.2个C。
3个D.4个6。
已知直角三角形ABC的顶点A(2 ,0),B(2 ,3)。
A是直角顶点,斜边长为5,求顶点C 的坐标。
7。
直角坐标系中,正三角形的一个顶点的坐标是(0,3),另两个顶点B、C都在x轴上,求B,C的坐标.9.在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(0,0),(0,—5),(-2,-2),•以这三点为平行四边形的三个顶点,则第四个顶点不可能在第_______象限.10。
直角坐标系中,一长方形的宽与长分别是6,8,对角线的交点在原点,两组对边分别与坐标轴平行,求它各顶点的坐标。
11.在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(0,0),(0,—5),(—2,—2),•以这三点为平行四边形的三个顶点,则第四个顶点不可能在第_______象限.14.已知等边△ABC的两个顶点坐标为A(—4,0),B(2,0),求:(1)点C的坐标;(2)•△ABC的面积知识点五:对称点的坐标特征。
关于x对称的点,横坐标不,纵坐标互为;关于y轴对称的点,坐标不变, 坐标互为相反数;关于原点对称的点,横坐标,纵坐标。
例1. 已知A(-3,5),则该点关于x 轴对称的点的坐标为_________;关于y 轴对的点的坐标为____________;关于原点对称的点的坐标为___________;关于直线x=2对称的点的坐标为____________.例2. 将三角形ABC 的各顶点的横坐标都乘以1-,则所得三角形与三角形ABC 的关系( )A .关于x 轴对称B .关于y 轴对称C .关于原点对称D .将三角形ABC 向左平移了一个单位学生自测1在第一象限到x 轴距离为4,到y 轴距离为7的点的坐标是______________;在第四象限到x 轴距离为5,到y 轴距离为2的点的坐标是________________;3。
点A(—1,—3)关于x 轴对称点的坐标是 .关于原点对称的点坐标是 .4。
若点A(m ,—2),B(1,n )关于原点对称,则m= ,n= 。
5.已知:点P 的坐标是(m ,1-),且点P 关于x 轴对称的点的坐标是(3-,n 2),则_________,==n m ;6.点P (1-,2)关于x 轴的对称点的坐标是 ,关于y 轴的对称点的坐标是 ,关于原点的对称点的坐标是 ;7.若 ),()与,(13-m n N m M 关于原点对称 ,则 __________,==n m ; 9.直角坐标系中,将某一图形的各顶点的横坐标都乘以1-,纵坐标保持不变,得到的图形与原图形关于________轴对称;将某一图形的各顶点的纵坐标都乘以1-,横坐标保持不变,得到的图形与原图形关于________轴对称.10.点A (3-,4)关于x 轴对称的点的坐标是 ( ) A 。
(3,4-) B 。
(3-,4-) C 。
(3, 4) D 。
(4-, 3-)11.点P(1-,2)关于原点的对称点的坐标是 ( ) A 。
(1,2-) B (1-,2-) C (1,2) D 。
(2,1-)12.在直角坐标系中,点P (2-,3)关于y 轴对称的点P 1的坐标是( ) A (2,3) B 。
(2,3-) C 。
(2-, 3) D. (2-,3-)(b+2)2=0,则点M(a,b)关于y 轴的对称点的坐标为_______.13.若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数,则此点一定在( )A .原点B .x 轴上C .两坐标轴第一、三象限夹角的平分线上D .两坐标轴第二、四象限夹角的平分线上知识点六:利用直角坐标系描述实际点的位置.需要根据具体情况建立适当的平面直角坐标系,找出对应点的坐标。
学生自测:1。