2021-2022学年浙江省嘉兴市高二上学期期末数学试题一、单选题1．立德中学高一年级共有学生640人，其中男生300人，现采用分层抽样的方法调查学生的身高情况，在抽取的样本中，男生有30人，那么该样本中女生的人数为（ ） A ．30人 B ．34人 C ．60人 D ．64人【答案】B 【分析】根据1212n n nN N N==⋅⋅⋅=直接求解. 【详解】30300640300x =-得34x = 故选：B2．若函数()3sin2xf x x =+，则（ ）A ．()3ln32cos2xf x x =+'B ．()32cos2xf x x =+'C ．()3ln3cos2xf x x =+'D ．()3ln32cos2xf x x =-'【答案】A【分析】用函数的求导法则、常用函数的导数及复合函数的导数可得解.【详解】因为()3sin2xf x x =+，所以()3ln32cos2xf x x =+'.故选：A.3．过点()1,3-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为（ ） A ．270x y --= B ．250x y +-= C ．250x y +-= D ．210x y +-=【答案】D【分析】根据两直线垂直关系，设出所求直线方程，()1,3-代入即可求解. 【详解】设所求的直线方程为20x y c ++=，()1,3-代入方程解得1c =-，所求的直线方程为210x y +-=. 故选：D.4．已知双曲线22:122x yC-=的右顶点为A，过点A作圆221x y+=的两条切线,AM AN，切点分别为,M N，则AMN的面积为（）A．12B．1 CD【答案】A【分析】先求出点A的坐标，设出过点A的直线方程，然后利用点到直线的距离公式列方程求出直线方程，从而可求出AMN的面积【详解】双曲线22:122x yC-=的右顶点为A，设过点A的直线方程为(y k x=-，因为直线与圆221x y+=相切，1=，解得1k=或1k=-，不妨设直线y x=221x y+=交于M由221y xx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩M⎝⎭，同理可得N⎝⎭所以AMN的面积为1122=，故选：A5．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e<<时，轨迹为椭圆；当1e=时，轨迹为抛物线；当1e>时，轨迹为双曲线.15=表示的圆锥曲线的离心率e等于（）A．15B．45C．54D．5【答案】B【分析】根据题意得到点(),x y到定点()4,0的距离与到定直线254x=的距离比为45，即可得到45e=.【详解】15==，45=，表示点(),x y 到定点()4,0的距离与到定直线254x =的距离比为45，所以45e =. 故选：B6．跑步是一项常见的有氧运动，能增强人体新陈代谢和基础代谢率，是治疗和预防“三高”的有效手段.赵老师最近给自己制定了一个180千米的跑步健身计划，计划前面5天中每天跑4千米，以后每天比前一天多跑0.4千米，则他要完成该计划至少需要（ ） A ．23天 B ．24天C ．25天D ．26天【答案】C【分析】由题意可知天跑步的里程为{}n a ，则()()4,5*40.45,5n n a n N n n ≤⎧=∈⎨+⨯->⎩，根据180n S ≥求解n 的最小值即可.【详解】设需要n 天完成计划，由题意易知每天跑步的里程为{}n a ，从第6项开始以4.4为首项，0.4为公差的等差数列，所以()()4,5*40.45,5n n a n N n n ≤⎧=∈⎨+⨯->⎩, 所以()()5 4.40.42201802n n n S -++=+≥，化简可得：2118800n n +-≥，因为2()11880f x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，当24n =时，22411248800+⨯-<，当25n =时，22511258800+⨯->， 故满足条件的最小25n =. 故选：C. 7．设2ln2,ln3,ea b c =-=-=-（其中e 2.71828≈是自然对数的底数），则（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【分析】根据给定条件构造函数()e 2ln xf x x =-(1x >)可比较a ，b ，作出a 与c 的差，再构造函数判定正负即可作答.【详解】令()e 2ln x f x x =-，1x >，则()2e 0xf x x='->，即函数()f x 在()1,+∞上单调递增，则有ff <，即ln 3ln 2->-，于是得b a >，2ln2ea c -=+-，令()e ex x p x =-，1≥x ，则当1x >时，()e e>0x p x '=-，即函数()p x 在[1,)+∞上单调递增，因此，()10p p >=，即0>，令()ln ,0e exq x x x =-<≤，则当0e x <<时，()110e q x x ='-<，即()q x 在(0,e]上单调递减，则()()2e 0q q >=，即2ln 20e->，于是有0a c ->，即a c>成立， 所以c a b <<. 故选：D8．1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》.他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题，发现数列：1,1,2,3,5,8,13,，该数列的特点是：前两项均为1，从第三项起，每一项等于前两项的和，人们把这个数列{}n F 称为斐波那契数列，则下列结论正确的是（ ） A ．24620202021F F F F F ++++= B ．2222123202120212022F F F F F F ++++=C ．12320212023F F F F F ++++=D ．135202120221F F F F F ++++=-【答案】B【分析】结合斐波那契数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】因为2462020124620201F F F F F F F F F ++++=+++++-34620201F F F F =++++-5620201F F F =+++-20211F ==-，故A 错误； 因为13520212352021F F F F F F F F ++++=++++4520212022F F F F =+++==， 故D错误；由AD 知123202120212022202311F F F F F F F ++++=-+=-，故C 错误；下证B 正确，因为12n n n F F F ++=-，所以21121n n n n n F F F F F ++++=-，即222223123342320212021202220202021,,,F F F F F F F F F F F F F F F =-=-=-，累加得2222320212021202212F F F F F F F +++=-，即2222123202120212022F F F F F F ++++=，故B 正确.故选:B. 二、多选题9．已知直线()():110l a x y a +++=∈R 与圆22:1C x y +=，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 必过定点 B ．l 与C 可能相离C ．l 与C 可能相切D ．当1a =时，l 被C 【答案】ACD【分析】求出直线l 过定点，由定点在圆C 上判断ABC ，再由弦长公式判断D. 【详解】直线()():110l a x y a +++=∈R ，当0x =时，1y =-，则直线l 过定点()0,1-，而且定点()0,1-在圆22:1C x y +=上，则AC 正确，B 错误；当1a =时，圆心()0,0到直线:210l x y ++=的距离d =l 被C 截得的弦长为=故D 正确； 故选：ACD10．为唤起学生爱护地球､保护家园的意识，加强对节能减排的宣传，进一步营造绿色和谐的校园环境，树人中学决定举办环保知识竞赛.现有甲､乙､丙､丁四个班级参加，每个班级各派10位同学参赛，每位同学需要回答10道题，每题回答正确得1分，回答错误得0分.若规定总得分达到70分且没有同学得分低于5分的班级为“优胜班级”，则根据以下甲､乙､丙､丁各班参赛同学的得分数据信息，能判断该班一定为“优胜班级”的是（ ）A ．甲班同学平均数为8，众数为8B ．乙班同学平均数为8，方差为4C ．丙班同学平均数为7，极差为3D ．丁班同学平均数为7，标准差为0 【答案】CD【分析】对于A ，可举例有得分低于5分的情况，判断其是否能判断该班一定为“优胜班级”，同理可判断B,对于C 项，用反证法的思想来说明其可能，对于D ，直接判断得分情况，可以说明其可能性.【详解】对于A ，比如有一位同学得2分，三位同学得10分，其余六位同学都得8分，满足平均数为8，众数为8，但不满足总得分达到70分且没有同学得分低于5分，故A 不能保证该班一定为“优胜班级”；对于B ，10位同学的得分可能是：4,6,6,8,8,8,10,10,10,10，此时满足平均数为8，方差为4但不满足总得分达到70分且没有同学得分低于5分，故B 不能保证该班一定为“优胜班级”；对于C ，如果有同学得分低于5分，根据极差为3，那么就,会出现其他同学的得分不大于7，这样平均分就低于7分，不符合丙班同学平均数为7，极差为3的条件，故这种情况下不会有得分低于5分的同学，满足总得分达到70分且没有同学得分低于5分，故C 能保证该班一定为“优胜班级”；对于D, 丁班同学平均数为7，标准差为0,可知每位同学得分均为7分，故D 能保证该班一定为“优胜班级”， 故选：CD.11．函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则（ ）A ．函数()f x 在(),a b 内一定不存在最小值B ．函数()f x 在(),a b 内只有一个极小值点C ．函数()f x 在(),a b 内有两个极大值点D ．函数()f x 在(),a b 内可能没有零点 【答案】BCD【分析】由导函数图像得导函数的符号，确定原函数的单调性，再依次判断. 【详解】设()0f x '=的根为123,,x x x ，且123a x x x b <<<<，则由图可知，函数()f x 在()1,a x 内单调增，在()12,x x 内单调减，在()23,x x 内单调增，在()3,x b 内单调减；函数()f x 在区间(),a b 内有极小值()2f x ，当()()2f x f a ≤，()()2f x f b ≤时，()2f x 是函数()f x 在区间(),a b 内的最小值，所以A 错，B 正确； 函数()f x 在区间(),a b 内有极大值()1f x 、()3f x ，所以C 正确；当()0f a ≥，()20f x >，()0f b ≥时，函数()f x 在(),a b 内没有零点，所以D 正确. 故选：BCD.12．已知平面内两个定点()()5,0,5,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为常数()0λλ≠，设点M 的轨迹为C .下列说法中正确的有（ ） A ．存在常数()0λλ≠，使C 上所有的点到两点()()6,0,6,0-的距离之和为定值 B ．存在常数()0λλ≠，使C 上所有的点到两点()()6,0,6,0-的距离之差的绝对值为定值 C ．存在常数()0λλ≠，使C 上所有的点到两点()()0,6,0,6-的距离之和为定值 D ．存在常数()0λλ≠，使C 上所有的点到两点()()0,6,0,6-的距离之差的绝对值为定值【答案】BC【分析】直接法求出曲线方程，根据选项结合椭圆与双曲线中a 、b 、c 的关系直接计算可得.【详解】设M 坐标为(,)x y ，则55y yx x λ⨯=+-， 化简得C 的轨迹方程为：2212525x y λ-=0)y ≠（ 由252536λ+=得1125λ=，此时表示焦点为()()6,0,6,0-的双曲线，故B 正确，A 错误.由252536λ--=得6125λ=-，此时表示焦点为()()0,6,0,6-的椭圆，故C 正确， 显然不管λ为何值都不可能是焦点在y 轴的双曲线，故D 错误. 故选：BC. 三、填空题13．以点()1,1为圆心且与直线30x -=相切的圆的方程是___________. 【答案】22(1)(1)4x y -+-=【分析】数形结合或点到直线的距离公式求出r ，然后可解.【详解】由点到直线的距离公式得2r =，所以圆的方程为22(1)(1)4x y -+-=. 故答案为：22(1)(1)4x y -+-=.14．已知数列{}n a 的通项公式21nn a =-，则其前n 项和n S =___________.【答案】122n n +--，n *∈N【分析】根据数列的通项公式，求和时采用分组求和法，利用等比数列的前n 项和公式，求得答案.【详解】因为21nn a =-，所以12321212121n n S =-+-+-++-22(12)(222)12n nn n -=+++-=--122n n +=-- ，n *∈N故答案为：122n n +--，n *∈N15．已知椭圆22:143x y C +=，双曲线D 与椭圆C 共焦点，且与椭圆C 在四个象限的交点分别为,,,M N P Q ，则四边形MNPQ 面积的最大值是___________.【答案】【分析】设双曲线和椭圆在第一象限得交点为00(,)x y ，根据对称性易得四边形MNPQ 是矩形且面积为004x y ，只需联立双曲线和椭圆，求出交点表达式即可. 【详解】依题意得，双曲线的焦点是(1,0)±，设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，且221a b +=，不妨设00(,)M x y 在第一象限，根据对称性易得四边形MNPQ 是矩形，且面积为：0000224x y x y =，联立2222221143x y a x y b -⎧+=⎪⎨=⎪⎪⎪⎩，解得22222222224(3)343(4)34a b x a bb a a b y ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⎪+⎩=，注意到221a b +=，化简得222243a b y x =⎧=⎪⎨⎪⎩，于是002ay x ==⎧⎪⎨⎪⎩， 所以四边形MNPQ面积为，又22)a b ≤+=a b ==取等号，则四边形MNPQ面积最大值为故答案为：16．已知不等式()()ln e 0xax x ax --≥对任意0x >恒成立（其中e 2.71828≈是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由()()ln e 0xax x ax--得出ln x a x ≥且e xa x≤，令()()ln e ,x x g x h x x x ==，再结合导数得出其最值，进而得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意知0x >，所以()()ln e ln e 00x xx ax x axa a x x ⎛⎫⎛⎫--⇔--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ln x a x ≥且e xa x≤，令()()ln e ,x x g x h x x x ==，21ln ()x g x x -'=，由()00e g x x '>⇒<<，()0e g x x '<⇒>可知，函数()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，可求得()max 1()e eg x g ==，同理可得()min ()1e h x h ==，所以max min ()()g x a h x 恒成立，即1,e e a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题17．已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，11a =，记n S 为其前n 项和，___________.给出下列三个条件：条件①10010000S =；条件②2514,,a a a 成等比数列；条件③12320221232022(1)(1)(1)(1)2022a a a a -+-+-++-=.试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)21n a n =- (2)21n nT n =+ 【分析】（1）选择①：由求和公式得出d ，进而得出通项公式；选择②：由等比中项的性质结合等差数列的通项公式得出d ，进而得出通项公式；选择③：由等差数列的定义得出d ，进而得出通项公式； （2）由裂项相消求和法求和即可. (1)设等差数列得公差为d ， 选择①：因为100110099100991001001000022d dS a ⨯⨯=+=+=， 所以()2,1121n d a n d n ==+-=-.选择②：因为2514,,a a a 成等比数列，所以22514a a a =⋅，即()()2(14)1113d d d +=++，化简得22d d =，因为0d ≠，所以()2,1121n d a n d n ==+-=-.选择③：因为12320221232022(1)(1)(1)(1)2022a a a a -+-+-++-=，所以10112022d =，所以2d =，()112 1.n a n d n =+-=- (2) 因为()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 所以11111111112335212122121n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 18．从某城市抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50到350度之间，将数据按照[)[)[]50,100,100,150,,300,350分成6组，画出的频率分布直方图如下图所示.(1)求直方图中的x 值和月平均用电量的众数；(2)已知该市有200万户居民，估计居民中用电量落在区间[)100,250内的总户数，并说明理由.【答案】(1)0.0044x =，众数为175度 (2)140万户，理由见解析【分析】（1）根据矩形面积之和为1可得x ，由最高矩形底边中点横坐标估计众数； （2）先求频率，再由总体⨯频率可得. (1)根据频率和为1，可知()0.00240.00360.00600.00240.0012501x +++++⨯=，计算得0.0044x =.由图可知，最高矩形的数据组为[)150,200，所以众数为1502001752+=度. (2)由频率分布直方图知：用电量落在区间[)100,250内的频率为()0.00360.00600.0044500.7++⨯=，所以用电量落在区间[)100,250内的总户数为0.7200140⨯=万户.19．已知圆221:2880C x y x y +++-=，圆222:()(22)25C x a y a -+-+=. (1)若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值；(2)若圆1C 与圆2C 相交于,A B 两点，弦AB a 的值.【答案】(1)1a =-±(2)2a =或4a =-【分析】（1）求出圆心、半径，结合两点间的距离公式即可求解；（2）法一，联立方程组，利用点到直线的距离公式，弦心距公式即可求解；法二，由题意知，圆1C 与圆2C 关于直线AB 对称，利用弦心距公式即可求解. (1)圆221:2880C x y x y +++-=，即为22(1)(4)25x y +++=，所以()111,4,5C r --=，圆222:()(22)25C x a y a -+-+=，所以()22,22,5C a a r -=，因为两圆外切，所以121210C C r r =+=10，化简得2(1)20a +=，所以1a =-±(2)法一：圆222:()(22)25C x a y a -+-+=，即为()22224158210x y ax a y a a +-+-+--=，将圆1C 与圆2C 的方程联立，得到方程组()222222880,24158210,x y x y x y ax a y a a ⎧+++-=⎪⎨+-+-+--=⎪⎩两式相减得公共弦AB 的方程为：()()2224458130a x a y a a +++-++=，由于AB 1C 到直线AB的距离：d ====13a +=， 解得2a =或者4a =-.法二：因为125r r ==，所以圆1C 与圆2C 关于直线AB 对称， 因为AB1C 到直线AB 的距离：d ==所以12C C = 解得2a =或者4a =-.20．已知首项为12的等比数列{}n a 是递减数列，其前n 项和为n S ，且113322,,S a S a S a +++成等差数列，数列{}n b 满足()()111,11n n b nb n b n n +=-+=+. (1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设数列{a 的前n 项和为n T ，证明：2n T <. 【答案】(1)12n n a =，2nb n = (2)证明见解析【分析】（1）由等差中项的性质结合等比数列的通项公式以及求和公式，得出{}n a ，再由等差数列的定义得出{}n b ；（2）由错位相减法得出n T ，再由不等式的性质证明2n T <. (1)设等比数列{}n a 的公比为q ，所以112n n a q -= 因为数列{}n a 单调递减，所以01q <<因为11S a +，3322,S a S a ++成等差数列，所以()1122332S a S a S a +++=+即()()23211111111222221212q q q q q q⎛⎫-- ⎪+++=+ ⎪-- ⎪⎝⎭化简得241q =，因为01q <<，所以12q =，1.2n n a = 因为()()111n n nb n b n n +-+=+，即111n n b b n n +-=+，所以数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项1为公差的等差数列，即nb n n=，所以2n b n =. (2)因为2n n nn a b =，所以231232222nn n T ①，所以2341112322222n n n T +=++++②，两式相减得23111111221111111122222222212nnn n n n n n n n T +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++++-=-=-- ⎪⎝⎭- 所以2222n nn T +=-<，得证. 21．如图，已知点P 是拋物线2:2(0)C y px p =>的准线:1l x =-上的动点，拋物线C 上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上.(1)求拋物线C 的方程；(2)记直线,,PA PB PO 的斜率分别为123,,k k k ，请问是否存在常数λ，使得31211k k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)24y x = (2)存在，1λ=-【分析】（1）利用准线12px =-=-，即可求出2p =，故可求得抛物线方程； （2）设()()111,,,,P t A x y -PA 中点为()22,M x y 及直线PA 的方程为()11y k x t =++，将直线方程与抛物线方程联立，消去x 得2114440y m y m t -++=，利用1214y y m +=及122t y y +=可以求得1183m ty -=，2243m t y +=，将其代入12144y y m t =+，即可得到2114440y m y m t -++=，同理设()()331,,,,P t B x y PB -中点()44,N x y ，直线PB 的方程为：()21x m y t =--，依据上述方法能得到22223232360m tm t ---=，由此可以得出1212113232t m m t k k -+=+=-=，由31211k k k λ+=即可求出λ的值.(1)∵抛物线2:2(0)C y px p =>的准线:1l x =-， ∴12p-=-，即2p =，抛物线C 的方程为24y x =. (2)方法①：设()()111,,,,P t A x y PA -中点()22,M x y ， 设直线PA 的方程为()11y k x t =++，整理得()111x y t k =-- ∵直线PA 的斜率不为零，令111m k =， ∴直线PA 的方程为：()11x m y t =--，联立()1214x m y t y x ⎧=--⎨=⎩消x 得2114440y m y m t -++=，则1214y y m +=，12144y y m t =+， ∵122t y y +=，即1183m ty -=，2243m t y +=，∴111843434m t m tm t -+=+⋅，化简得22113232360m tm t ---=， 同理设()()331,,,,P t B x y PB -中点()44,N x y ，直线PB 的方程为：()21x m y t =--，联立()2214x m y t y x ⎧=--⎨=⎩消x 得2224440y m y m t -++=，则3424y y m +=，34244y y m t =+， ∵342t y y +=，即2383m ty -=，2443m t y +=， ∴222843434m t m t m t -+=+⋅，化简得22223232360m tm t ---=， 则1m ，2m 是方程223232360m mt t ---=的两根， 即1212113232tm m t k k -+=+=-=， 又∵31tk t ==-- ∴由31211k k k λ+=得，t t λ=-，即1λ=-，故存在1λ=-满足条件.方法②：设()()21,,,2P t A a a -，PA 中点为()2,2M m m ，则221,222,2a m a t m ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，消m 得2220,4t a ta ---=，同理设()2,2,B b b PB 中点()2,2N n n ，则221224b n b t n ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，消n 得则22204t b tb ---=，则a 、b 是方程22204tx tx ---=的两根，即a b t +=，由222a t m +=和24b tn +=得()()2m n a b t +=++，由a b t +=得m n t +=， 又∵122222a m k a m a m -==-+，即112a m k +=，222222b n k b n b n-==-+，即212b n k +=， ∴()()1211222a b m n a m b n t k k ++++++=+==，又∵31tk t ==--，且31211k k k λ+=，∴t t λ=-，即1λ=-， 故存在1λ=-满足条件. 22．已知函数()()ln 2f x x x =+.(1)求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若12,x x 为方程()f x k =的两个不相等的实根，证明： （i ）()1f x x --； （ii ）12111ln2x x k ⎛⎫-≤++ ⎪⎝⎭.【答案】(1)()ln2y x =(2)（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析【分析】（1）由()()ln 2f x x x =+，求导，进而得到()()0,0f f '，写出切线方程； （2）（i ）令()()ln 21g x x x x =+++，用导数法证明min ()0g x =即可；（ii ）不妨设12x x <，根据()1f x x --，由y k =与1y x =--的交点坐标，得到11x k ≥--，再通过令()()()ln 2ln2p x x x x =+-，用导数法证明()()ln2f x x ≥，根据y k =与()ln2y x =的交点坐标得到2ln2kx ≤证明. (1)解:()()ln 2f x x x =+，定义域()2,x ∈-+∞， ()()()00,ln 22xf f x x x ==+++'， 所以()0ln2f '=，故()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为：()ln2y x =. (2)证明：（i ）令()()ln 21g x x x x =+++， 则()()()22ln 21ln 222x x g x x x x x +=+++++'=++， 令()()22ln 22x h x x x +=+++， 则()()()22124110,02(2)(2)x h g h x x x x +-=-==+=+++'>'成立， 所以()h x 在()2,-+∞上单调递增，所以当()2,1x ∈--时，()()()0,g x h x g x <'=单调递减； 当()1,x ∈-+∞时()()()0,g x h x g x >'=单调递增， 所以()min ()10g x g =-=，所以()1f x x ≥--成立.（ii ）不妨设12x x <，因为y k =与1y x =--的交点为()1,k k --，故11x k ≥--. 令()()()ln 2ln2p x x x x =+-，则()()ln 2ln22xp x x x =++-+'， 令()()ln 2ln22xq x x x =++-+， 则()()()22124000,02(2)(2)x q p q x x x x +===+=>+++''成立， 所以()q x 在()2,-+∞上单调递增，所以当()2,0x ∈-时，()()()0,p x q x p x <'=单调递减； 当()0,x ∈+∞时()()()0,p x q x p x >'=单调递增， 所以()min ()00p x p ==，所以()()ln2f x x ≥成立，因为y k =与()ln2y x =的交点为,ln2k k ⎛⎫⎪⎝⎭，故2ln2k x ≤，所以()121111ln2ln2k x x k k ⎛⎫-≤---=++ ⎪⎝⎭，得证. 【点睛】关键点点睛：本题第（ii ）问解决的关键是将12111ln2x x k ⎛⎫-≤++ ⎪⎝⎭，转化为平行于x 轴的距离问题，很好的利用（i ）结论.。