学习必备 欢迎下载第14章整式的乘法与因式分解复习一、知识网络结构图同底数幂的乘法法则： a m ·a n ＝a m ＋ n (m ，n 都是正整数 ) 幂的运算法则幂的乘方法则： (am )n＝ amn(m ，n 是正整数 )积的乘方法则： (ab)n ＝ a n b n (n 是正整数 )整式的乘法整 式乘法公式的 乘除 与 因 式 公 整式的除法解单项式乘以单项式法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式单项式乘以多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加平方差公式： (a ＋b)(a － b)＝a 2－b2完全平方公式： (a ＋ b)2＝ a 2＋ 2ab ＋b 2，(a － b)2＝ a 2－ 2ab ＋b 2同底数幂的除法法则： mnm － na ÷ a ＝ a(a ≠0，m ，n 都是正整数且 m ＞n)零指数幂的意义： a 0＝1(a ≠ 0)单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式因式分解平方差公式： 方法公式法完全平方公式a 2－b 2＝ (a ＋ b)(a －b)2＋2ab ＋ b 22a ＝ (a ＋b) a 2 －2ab ＋ b 2＝ (a －b)2二、典型例题幂的运算法则及其逆运用例1 计算2 x3 · － x ２ ＝ ．( 3 )例 2 计算 [ a 4( a 4－4a) － ( － 3a 5) 2÷ ( a 2) 3] ÷( －2a 2 ) 2整式的混合运算例 3计算 [( a －2b)(2 a － b) －(2a ＋ b) 2＋ ( a ＋b)( a －b) － (3 a) 2 ] ÷ ( －2a) ．因式分解例 4 分解因式．3x ＋x ＋2－ ．(1) m － m ；(2)( 2)(3)＋ x4转化思想 例 5 分解因式 a 2－ 2ab ＋b 2－c 2整体思想例 6 (1) 已知 x ＋ y ＝ 7， xy ＝12，求 ( x －y) 2；(2) 已知 a ＋b ＝ ，a －b ＝ ，求 ab 的值．8 2开放型题例 7 （ 2009·吉林中考）在三个整式 x 2 2xy, y 22xy, x 2 中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分 解 .规律探究题例 8 如图 15－ 5 所示，摆第 1 个“小屋子”需要 5 枚棋子，摆第 2 个需要枚棋子，摆第 3 个需枚棋子，按这种方式摆下去，摆第 n 个这样的 “小屋子”需要枚棋子．例 9 (1) 计算． ①( a － 1)( a ＋1) ；②( a － 1)( a 2＋ a ＋ 1) ；③( a － 1)( a 3＋ a 2 ＋a ＋1) ；④( a － 1)( a 4＋ a 3 ＋a 2＋a ＋1) ．(2) 根据 (1) 中的计算，你发现了什么规律 ?用字母表示出来．(3)根据 (2) 中的结论，直接写出下题的结果．①( a － 1)( a 9＋ a 8 ＋a 7＋a 6＋ a 5＋a 4＋a 3＋a 2 ＋a ＋ 1) ＝；②若 ( a －1) ·M ＝a 15－ ，则 M ＝；1③( a － b a 5＋ a 4 b ＋ a 3b 2 ＋a 2b 3＋ab 4＋b 5 )＝；x － )( x 4＋ x 3＋ x 2＋ x ＋④(2 1)(16 1) ＝；8 4 2三、训练题一、选择题1 ．计算 ( a 3)2 的结果是( )A ． a 5B ． a 6C ．a 8D ． a 92 ．下列运算正确的是( )A ． a 2· a 3 ＝a 4B ．( －a) 4 ＝a 4C ． a 2＋ a 3 ＝a 5－xD ．( a 2) 3＝a 53 ．已知 x － y ＝－ ，则＋ 3y 的值是 ( )3 35A ． 0B ．2C ．5D ．8．若 m ＋n ＝ ，则22 － 的值为4 m ＋ mn ＋ n6( )3 24 2A ． 12B ．6C ．3D ．05．如图 15－4 所示，在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形( a ＞b ) ，把余下的部分拼成一个矩形， 根据两个图形中阴影部分的面积相等， 可以验证 ()A ． ( a ＋b) 2＝a 2＋2ab ＋ b 2B ． ( a －b) 2＝a 2－2ab ＋ b 2C ． a 2－ b 2 ＝( a ＋ b)( a － b)D ． ( a ＋2b)( a － b) ＝a 2＋ ab －2b 26 ．下列各式中，与 ( a － b) 2 一定相等的是 ( )A ． a 2＋ ab ＋b 2B ．a 2－b 22C ． a 2＋ b 2D ．a 2－ ab ＋ b 0．已知 x ＋ y ＝－ ，xy ＝ ，则 x 2＋ y 2 的值为 27( )5 6A ． 1B ．13C ．17D ．25 8 ．下列从左到右的变形是因式分解的是( )A ． ma ＋mb － c ＝ m a ＋ b － c()B ． ( a －b)( a 2＋ab ＋b 2) ＝a 3－b 3C ． a 2－ ab ＋b 2－ ＝ a a － b ＋(2b ＋1)(2 b －1)441 y ( x 4 ) yD ． x 2－ y 2＝(2 x ＋)(2－)4 25 5 59．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 ( )A ．－ a 2＋b 2B ．－ a 2－b 2C ．a 2＋b 2D ．a 3－b 310 ．如果 ( x －2)( x － 3) ＝x 2＋ px ＋q ，那么 p ，q 的值是 ()A ． p ＝－ ，q ＝6B ．p ＝ ，q ＝－651C ． p ＝ ，q ＝6D ．p ＝ ，q ＝－615二、填空题mn3m ＋ 2n ＝．11．已知 10 ＝2，10 ＝3，则 10x －y 12 ．当 x ＝ ，y ＝1时，代数式( x ＋ y)( ) ＋y 2的值是．．若 a － 3b －b ＝ ，ab ＝－ ，则(a ＋1)(1) ＝．13123．14．分解因式： 2m －8m ＝．已知 y＝ 1 x － ，那么 1 x 2－ xy ＋ y 2 － 2 的值为 ．153132316 ．计算： 5752×12－ 4252×12＝．17．若 (9 n ) 2 ＝38，那么 n ＝．k 的值为18．如果 x 2 ＋ kx ＋81是一个完全平方式，那么．219．多项式x 2＋1加上一个单项式后， 使它成为一个整式的完全平方式， ．那9么加上的单项式是．( 填一个你认为正确的即可 )20．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，222我们可以得到两数和的平方公式： （ a+b ） =a +2ab+b ．你根据图乙能得到的数学公式是 _________________三、解答题21．化简． (1)－( m －2n) ＋ 5( m ＋4n) －2( －4m － 2n) ；(2)3(2x ＋1)(2 x － 1) －4(3 x ＋2)(3 x －2) ；(3)20002－1999×2001．22 ．分解因式．22－ mn n －m ； (1)mn m － n() 4 ()(2)( x ＋ y) 2＋64－16( x ＋y) ．23．已知 a，b 是有理数，试说明 a2＋ b2－2a－4b＋8 的值是正数．24．先化简，再求值： ( a＋b)( a－b) ＋ (4 ab3－8a2 b2) ÷4ab，其中 a＝ 2， b＝ 1．25．给出三个多项式：1x2 2 x 1 ，1x24x 1，1x22x ．请选择你最喜欢222的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．26．如图15－ 6所示，有一个形如四边形的点阵，第l 层每边有两个点，第 2 层每边有三个点，第 3 层每边有四个点，以此类推．(1)填写下表；层数123456各层对应的点数所有层的总点数(2)写出第 n 层对应的点数；(3)写出 n 层的四边形点阵的总点数；(4)如果某一层共有 96 个点，你知道是第几层吗 ?(5)有没有一层点数为 100?。