三、最优性检验
根据最小元素法或西北角法求得运输问 题的初始基可行解之后，按照表上作业 法的第二步，下面需对这个解进行最优 性判别，看它是否为本运输问题的最优 解.
１、闭回路法
思路：要判定运输问题的初始基可行解是否为 最优解，可仿照一般单纯形法，检验这个解的 各非基变量（对应于运输表中的空格）的检验 数。 检验数：运输问题中非基变量（对应于空格） 的检验数定义为给某空格增加单位运量导致总 费用的增加量。 如将X果ij有变某为空基格变（量Ａ将i使、运Bj）输的费检用减验少数为，负故当，前说这明 个解不是最优解。若所有空格的检验数全为非 负，则不管怎样变换，均不能使运输费用降低， 即目标函数值已无法改进，这个解就是最优解。
闭回路：在给出的调运方案的运输表上， 从一个空格（非基变量）出发，沿水平或 垂直方向前进，只有碰到代表基变量的数 字格才能向左或向右转90°继续前进，直 至最终回到初始空格而形成的一条回路。
从每一空格出发，一定可以找到一条且只 存在唯一一条闭回路 。
以xij空格为第一个奇数顶点，沿闭回路的顺 （或逆）时针方向前进，对闭回路上的每个 折点依次编号；
=80+100-（90+75）=15。
经济含义：在保持产销平衡的条件下，该非 基变量增加一个单位运量而成为基变量时目 标函数值的变化量。
2、对偶变量法（位势法）
检验数公式：
ij cij ui v j
ui (i 1,2,m) 分别表示前m个约束等式对应的对偶变量；
v j ( j 1,2,n) 分别表示后n个约束等式对应的对偶变量。
初始调运方案对偶变量对应表
调 销地
对偶

运 量
B1
产地
B2
B3
产 变量
量
ui
A1
A2
销量
100 90
X11
70 100 100 200
X12
X13
u1
80 150 65 100 75 250 u2
X21
X22
X23
100
150
200 450
对偶变量vj
v1
v2
v3
以初始调运方案为例，设置对偶变量 和 ui ， v j 然后构造下面的方程组：
非基变量 xij 的检验数：
ij =（闭回路上奇数次顶点运距或运价之和） -（闭回路上偶数次顶点运距或运价之和）
现在，在用最小元素法确定例2初始调运方 案的基础上，计算非基变量X12的检验数 ：
初始调运方案中以X12(X21)为起点的闭回路
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90
70 100 100 200
确定初始方案 (初始
基本可行解)
判定是否 最 优？
否
是 结束
改进调整 （换基迭代）
最优方案
图 1运输问题求解思路图
二、初始基本可行解的确定
例2：甲、乙两个煤矿供应A、B、C 三个城市用煤，各煤矿产量及各城 市需煤量、各煤矿到各城市的运输 单价见表所示，求使总运输费用最 少的调运方案。
例题有关信息表
s.t.xx1121

x21 x22
100 150
需求约束
x13 x23 200 xij 0, i 1,2; j 1,2,3;
（1）最小元素法：从运价最小的格开始，在格 内的标上允许取得的最大数。然后按运价从小 到大顺序填数。若某行（列）的产量（销量） 已满足，则把该行（列）的其他格划去。如此 进行下去，直至得到一个基本可行解。
σ21=c21-（u2+v1）=80-（-25+90）=15
与前面用闭回路法求得的结果相同。
方程组的特点：
方程个数是m+n-1=2+3-1=4个，对偶变量共 有m+n=2+3=5。
初始方案的每一个基变量xij对应一个方程— —-—所在行和列对应的对偶变量之和等于该基 变量对应的运距（或运价）：ui+vj=cij；
X11
X12
X13
80 50 65 200 75
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
50
产量 200 100 250 200
450
得到初始调运方案为： x11=100，x12=100，x22=50，x23=200
总运价为： 90*100 70*100 50*65 200*100 39250
运距 城市 A
煤矿
日产量 B C （供应量）
甲
90 70 100
200
乙
80 65
75
250
日销量
（需求量） 100 150 200
450
例题 数学模型
min Z 90x11 70x12 100x13 80x21 65x22 75x23 总运输量
x11 x12 x13 200 x21 x22 x23 250 日产量约束
总运价为： 90*100 100*100 65*150 100*100 38750
（2）西北角法
不是优先考虑具有最小单位运价的供销业 务，而是优先满足运输表中西北角（左 上角）上空格的供销要求
用西北角法确定初始调运方案
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产地
100 90 100 70
100
A1
用最小元素法确定初始调运方案
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90
70 100 100 200 100
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250 100
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
100 450
得到初始调运方案为： x11=100，x13=100，x22=150，x23=100
方程组恰有一个自由变量，可以证明方程 组中任意一个变量均可取作自由变量。 这个时 候方程的解可以称为位势。
u1 v1 c11 90
uu12

v3 v2

c13 c22
100 65
u2 v3 c23 75
在 式 中 ， 令 u1=0 ， 则 可 解 得 v1=90 ， v3=100 ， u2=-25，v2=90，于是
σ12=c12-（u1+v2）=70-（0+90）=-20
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
450
非基变量X12的检验数： 12 =（c12+c23）-（c13+c22）
=70+75-（100+65）=-20，
非基变量X21的检验数：
21 =（c21+c13）-（c11+c23）