方程与方程组以及不等式
韦达定理
一、 【归纳初中知识】
1、一元二次方程的解法在初中时我们已学习过配方法、公式法、因式分解法等主要解法。

2、对于任意的一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax ，通过判别式ac b 42-=∆能够判断其方程解的个数。

二、 【衔接高中知识】
我们已经知道)0(02
≠=++a c bx ax 如果有两个解，则其分别为； a ac b b x 2421-+-=，a
ac b b x 2422---= 则我们可以得到⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121 上面揭示了二次方程的根与系数c b a ,,之间关系的等式我们叫做韦达定理，韦达定理在未来高中三年的学习中占据着非常重要的地位。

反之，若21,x x 满足⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=+a c
x x a b x x 2121，则我们可以说21,x x 一定是)
0(02≠=++a c bx ax 的两个解，这叫做韦达定理的逆定理。

三、 【例题精讲】
例1：若21,x x 是0122=-+x x 的两个根，求：
（1）2221x x +；（2）22
2111x x +；（3）21x x -；（4）3231x x +,. 解析：略，注意a
x x x x x x ∆=-+=-21221214)(
例2：任意写出一个二次方程，使得它的两个根分别为5-和
32. 解析：0)32)(5(=-+x x 或03103132=-+
x x
例3：已知关于x 的方程014
1)1(22=+++-k x k x ，根据下列条件，分别求出满足条件的k 值.
（1）方程两实根之积为5；（2）方程两实根满足21x x =.
解析：（1）451410)141(4])1([22122=⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=≥+-+-=∆k k x x k k （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⎪⎩
⎪⎨⎧>⇒>∆-=⇒=+=⇒=∆⇒=⇒=无解23010230212121k k x x k x x x x 综上，若21x x =，则2
3=
k
例4：若21,x x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个根，当m 为何值时，2221x x +取得最小值？请你求出这个最小值 解析：23222322)2(2)(222
212212221+-=-+⋅-=-+=+m m m m m x x x x x x 当43=m 时，有最小值8
7 例5：已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且两根平方和比两根
之积大21，求m 的值.
解析：1017163)(221221212221-=⇒⎩
⎨⎧≥∆--=-+=-+m m m x x x x x x x x
例6：若关于x 的方程02=++a x x 有两个根：
（1）当其中一个大于1，另一个小于1时，求a 的取值范围；
（2）当两个根都小于1时，求a 的取值范围.
解析：（1）由已知设0)1)(1(1,12121<--⇒<>x x x x 且0>∆
所以20
41021)()1)(1(212121-<⇒⎩⎨⎧>-<+=++-=--a a a x x x x x x （2）法一：41204102)1)(1(21≤<-⇒⎩⎨⎧⇒
≥-=∆>+=--a a a x x 法二：借鉴二次函数图形，根据两根均小于1可知当1=x 时，函数值011>++a ，同时也需满足0≥∆
例7：若21,x x 是方程01)12(22=+++-k x k x 的两实数根，且均大于1.
（1）求实数k 的取值范围；
（2）若2
121=x x ，求k 的值 解析：（1）143430)1(4)12(101)12(1)1)(1(22221≠≥⇒⎪⎩
⎪⎨⎧≥⇒≥+-+=∆≠⇒>++-+=--k k k k k k k k x x 且 （2）)(171)12(29219)12(3122221
221212121舍去或==⇒++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+==+⇒=+=+k k k k x k x x x k x k x x
***例8：已知b a ,是一元二次方程012=--x x 的两个实数根，求)2(2
2-+b a a 的值. 解析：120
101222-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=--b b b b a a 01)1()2(2222=+=+-=-+=-+∴ab ab a a b a a b a a
课后习题
1、关于x 的一元二次方程0522=++-a a x ax 其中一个根是0，则a =10-或
2、关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ：
（1）若有一个根为0，则7=m ，此时方程另一个根为：1
（2）若两根之和为53-
，则9-=m ，此时方程两个根分别为：1,58- 3、方程01222=-+x x 的两根为21,x x ，则321=-x x
4、设21,x x 为方程02=++q px x 的两根，且1,121++x x 为方程02
=++p qx x 的两根，则________________,==q p 解析：由题意有⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=++--=+-⇒⎩⎨⎧=++-=++⎩⎨⎧=-=+3112)1)(1(221
212121q p p q p q p p x x q x x q x x p x x 和 *5、已知实数c b a ,,满足b a -=6，92
-=ab c ，则____________,______,===c b a 解析：由题意有的两根是方程096,9
6222=++-⇒⎩⎨⎧+==+c x x b a c ab b a 300)9(4362==⇒=⇒≥+-=∆∴b a c c
***6、若1≠ab ，且09201952=++a a ，05201992=++b b ，则9
5=a b 解析：的两根为方程09201951,091201915092019509120191505201992222=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=++=+⋅+⋅
⇒=++x x b a b b
a a
b b b b
故5
9=b a 7、已知关于x 的方程)0(02≠=++a c bx ax 两根之比为5:3，求证：21564b ac = 证明：设222222121211564156415641585,3b ac ac b a c a b a c
k x x a b k x x k x k x =⇒=⇒=⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==-==+⇒==
8、已知方程05)2(22
2=-+--a x a x 有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 解析：由题意⎪⎩⎪⎨⎧==⇒-=-⇒+=≤⇒≥---⇒≥∆)(31)2(45)(24
90)5(4)2(402212
122舍去或a a a a x x x x a a a 综上，1=a
9、若一元二次方程04)1(2=++-x m x 的两个根均满足30≤≤x ，求m 的取值范围 法一：借助函数图像可知：
①当3,0==x x 时函数值均0≥3
1004)1(39≤⇒≥++-⇒m m ②350≥-≤⇒≥∆m m 或 ③对称轴5132
10≤≤-⇒≤+≤
m m 综上，3103≤≤m
法二：设两根为21,x x ，则有31033
503100)3)(3(51602121≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤⇒≥∆≤⇒≥--≤≤-⇒≤+≤m m m m x x m x x 或。