0可知：(I
R )
&&
ka
g
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
I
PR2
即：
ka（rad/s），故T
2
g
（s）
2
n
PR2
n
ka
I
g
、（19分）图2所示为3自由度无阻尼振动系统，
kt 1kt 2kt 3kt 4k，I1I2/ 5 I3I。
1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程；
（6分）
2）求出固有频率；
（7分）
3）求系统的振型，并做图。
9．多自由度振动系统微分方程可能存在惯性耦合、刚度耦合和黏性耦合三种耦合情况。（本
小题3分）
二、简答题
1、什么是机械振动？振动发生的内在原因是什么？外在原因是什么？
答：机械振动是指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。
振动发生的内在原因是机械或结构具有在振动时储存动能和势能，而且释放动能和势能并能使动能和
U2
keq
2
2
2
令ET1
ET 2，可得等效转动惯量为：
Ieq
I1i2
I2
令U1
U2，可得等效转动惯量为：
kteq
kt1i2
kt 2
6．已知某单自由度系统自由振动微分方程为
x
n
2x
0
，则其自由振动的振幅为
x(0)
x0
, x(0) x0
2
A
x02x0
，初相角
arctg
x0
n
。（本小题4分）
n
x0
7．已知库仑阻尼产生的摩擦阻力
R与a均已知。
1）写出系统的动能函数和势能函数；（5分）
2)求系统的运动方程； （4分）
2）求出系统的固有频率。（5分）
解：取轮的转角
为坐标，顺时针为正，系统平衡时
0，则当轮子有
转角时，系统有：
1
2
1 P
&
21
P
2
2
ET
I
&
( I
R
)
&
2 g
( R)
g
2
2
U1k( a)2
2
由d(ETU )
P
2
2
2
0
2
kt 2(
1
2)
2
kt 3
(2
3)
2kt 4 3
1(kt 1
kt 2)12
1(kt 2
kt 3)22
1(kt 3kt 4)32
kt 2 1 2kt 3 2 3
2
2
2
求偏导也可以得到
M
, K
。
2)设系统固有振动的解为：
1
u1
，代入（a）可得：
u2
2
cos t
3
u3
u1
(b)
( K
2
)
u2
0
M
u3
得到频率方程：V(2)
一、填空题
1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动 ）和非线性振动； 确定性振动和 （随机振动 ）；
（自由振动 ）和强迫振动。
2、周期运动的最简单形式是（简谐运动 ），它是时间的单一（正弦）或（ 余弦 ）函数。
3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量 ）和（ 刚度 ）有关，与系统受到的激励无关。
2k
2I
k
0
k
2k
42I
k
0
0
k
2k
2I
即：V(2)(2 k2I )(4 I2410kI22k2)0
解得：
2
(5
17)k和
4
I
所以：
1
(5
17)k
4I
将（c）代入（b）可得：
2
2
2k
I
2
k
3
(
5
17 k
(c)
m
4
)
I
2k
5
17
kg
k
0
(
)
I
4
I
u1
(5
17)kg4I
k
2k
k
u20
4
I
u3
2k (5
0
1．振动基本研究课题中的系统识别是指根据已知的激励和响应特性分析系统的性质，并可得到振动系统的全部参数。 （本小题2分）
2．振动按激励情况可分为自由振动
和
强迫振动
两类。（本小题2分）。
3．图（a）所示n个弹簧串联的等效刚度
k
1
；图（b）所示n个粘性阻尼串联的等效粘
n
1
i 1
ki
性阻尼系数Ce
1
。（本小题3
4
0
;
所以：
0
0
I3
0
0
1
kt 1
kt 2
kt 2
0
2
1 0
K
kt 2
kt2
kt 3
kt3
k 1 2
1
0
kt 3
kt3
kt 4
0
1 2
&
系统运动微分方程可写为：
1
1
(a)
M
&
K
2
2
0
&
3
3
或者采用能量法：系统的动能和势能分别为
ET
1
&2
1
&2
1
&2
2
I1 1
I2 2
I
3 3
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
U
2kt 1 1
答：如果系统的第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移保持为零，为
保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施加的外力就是kij。
1、 简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。
答：实际阻尼是度量系统消耗能量的能力的物理量，阻尼系数c是度量阻尼的量；临界阻尼是
1
X0
n
ln
Xn
式中：Xn是经过n个循环后的振幅。并计算阻尼系数
0.01时，振幅减小到
50%以下所需
的循环数。
解：对数衰减率为相隔两个自然周期的两个振幅之比的自然对数，所以：
lnX0
lnX0
X1
Xn 1
lnX0
lnX1
lnXn 1
n
Xn
X1
X2
Xn
X1
X2
Xn
1
X0
所以：
ln
n
Xn
单自由度系统阻尼自由振动的响应为：
K1
与K2的总刚度：
K1K2
2)系统总刚度：
K
1K2
K3
K12
K
K1K2
K1
K2
3)系统固有频率：
K1K2
K3
K
K1
K2
(也可用能量法，求得系统运动方程，即可得其固有频率
)
I
I
、（14分）如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为
I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P
的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径
1:3 17:1）
4
系统的三阶振型如图：
、（14分）如图所示中，两个摩擦轮可分别绕水平轴O1，O2转动，无相对滑动；摩擦轮的半径、质量、
转动惯量分别为
11
1和
2
2
2。轮2的轮缘上连接一刚度为
k
的弹簧，轮
1的轮缘上有软绳悬
r、m、I
r
、m、I
挂质量为m的物体，求：
1）系统微振的固有频率；（10分）
2）系统微振的周期； （4分）。
值之间的关系。而周期振动可以通过方程的求解，由初始条件确定未来任意时刻系统的状态。
三、计算题（45分）
、（12
分）如图
1所示的扭转系统。系统由转动惯量
I、扭转刚度由
K1、K2、K3组成。
1）求串联刚度K1与K2的总刚度（3分）
2）求扭转系统的总刚度（3分）
3)求扭转系统的固有频率（6分）。
1）串联刚度
2
dn1；
共振的角度看，随着系统能力的增加、增幅和速度增加，阻尼消耗的能量也增加，当阻尼消耗能力与
系统输入能量平衡时，系统的振幅不会再增加，因此在有阻尼系统的振幅并不会无限增加。
3、简述无阻尼多自由度系统振型的正交性。
答：属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量和刚度矩阵为权正交。
其数学表达为： 如果当r s
{ us}T[ M ]{ ur} 0
时，
r
s，则必然有
{ us}T[ K ]{ ur} 0。
4、用数学变换方法求解振动问题的方法包括哪几种？有什么区别？
答：有傅里叶变换方法和拉普拉斯变换方法两种。
前者要求系统初始时刻是静止的，即初始条件为零；后者则可以计入初始条件。
5、简述刚度矩阵[K]中元素kij的意义。
2、在离散系统中，弹性元件储存(势能)，惯性元件储存（动能），（阻尼）元件耗散能量。
4、叠加原理是分析（线性）系统的基础。
5、系统固有频率主要与系统的（刚度）和（ 质量）有关，与系统受到的激励无关。
6、系统的脉冲响应函数和（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和（传递函数）函数是一对拉
普拉斯变换对。
7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（往复弹性）运动。