2
cl 2 c 48 16 0.21 2 mg 1 9.8 kl mgl ) 16 1 (224 ) 2 ml 2 ( ) 16 m(k l 0.49 4 4
P59.1-16: 图示系统的薄板质量为m, 系统在空气中(认为无阻尼)振动周期为T1 , 在粘性液体中振 动周期为T2 , 液体阻尼力可表示为f d 2 Au, 其中2 A为板的面积， 为粘性系数，为板 u 运动的速度。求证：
n
(b)
keq
1.96 106 70(rad / s) m 400
k kbeam 3.675 105 k kbeam
keq m 30.3(rad / s)
n
P58.1-8: 钢索的刚度为4 105 N/m, 绕过定滑轮吊着质量为100kg的物体以匀速0.5m/s下降， 若钢索突然卡住， 求钢索内的最大张力。
F ／ 2
x
F x3 1 l 3 3l 2 w( x) x x EI 12 6 2 48
kbeam
F w(l / 2)
F 48EI 3 3 l F l 48EI
(a)
keq k kbeam
keq
48EI 48 1.96 106 5 k 3 4.9 10 1.96 106 ( N / m) 3 l 4
系统的运动方程： mu(t ) ku(t ) f 0 sin(t ) 奇次方程通解：
u(t ) a1 cos nt a2 sin nt
n 7000 /17.5 20(rad / s)
特解为： u＊(t ) Bd sin(t )
响应： 响应：
Bd f0 /(k m 2 ) 0.01
k1和k2并联后的等效刚度：keq k1 k2
整个系统的等效刚度：keq keq k3 keq k3 (k1 k2 )k3 k1 k2 k3
系统的固有频率：n
keq m
261.86 rad/s
P57.1-6: 写出图示系统的等效刚度的表达式。
垂直方向力平衡： f k1x1 k2 x2 对o力矩平衡： k1x1a k2 x2b
设等效刚度系数为keq， 则：f keq bx1 ax2 ab
bx1 ax2 ab
(a b) 2 由以上各式得到：keq 2 a b2 k2 k1
x1
k1x1
k2 x2
o
a
b
x2
f
P57.1-7: 图中简支梁长l 4m, 抗弯刚度EI 1.96 106 Nm2 , 且k 4.9 105 N/m, m 400kg。 分别求图示两种系统的固有频率。
a 0.1069, =2.1167
P57.1-2: 一物体放在水平台面上， 当台面沿铅垂方向作频率为5Hz的简谐振动时， 要使物体不跳离平台， 对台面的振幅有何限制？
m
u
质量m运动方程： N mg mu(t )
N mu(t ) mg
不跳离条件: N 0
a sin(t )
越过平衡位置的条件：u(t1 ) 0, u(t1 ) 0 # 如果u0 0, u0 0， 系统静止在平衡位置上。 # 如果u0 0, u0 0
u(t ) 0
u(t1 ) u0 0
t1 0
经过平衡位置一次
# 如果u0 0, u0 0
u(t ) 0
t1为负值， 无意义， 即无解， 表明系统不经过平衡位置
g
2
u (t )
g 2
mu(t ) mg 0
u(t ) 2u(t )
N
() 如果sin(t ) 0, 则上式恒成立
m
mg
() 如果 sin(t ) 0, 则上式变为a
g g 9.8 9.9mm 2 sin(t ) 2 (2 5)2
积分：
F x3 1 l 3 w( x) x Cx D EI 12 6 2
边界条件：
w(0) w(l ) 0
F x3 1 l 3 3l 2 w( x) x x EI 12 6 2 48
w
F
F ／ 2
拍周期
2 2 2 (s) | 2 1 | | 40 39 |
P57.1-5: 写出图示系统的等效刚度的表达式。 当m 2.5kg, k1 k2 2 105 N/m, k3 3 105 N/m时， 求系统的固有频率。
分析表明： k1和k2并联， 之后与k3串联
T1 2
2 m T22 T12 AT1T2
T12 1 2 T2
n
2
T2
d

2 1 2 n
T1 1 2 T2


AT1 c 2 A 2mn 2m 2 2 m T1
2 m T22 T12 AT1T2
P59.1-17: 已知单自由度无阻尼系统的质量和刚度分别为m 17.5kg, k 7000N/m, 求该系统在零 初始条件下被简谐力f (t ) 52.5sin(10t 300 )N激发的响应。
u(t ) a1 cos nt a2 sin nt 0.01sin(t ) u(0) 0, u(0) 0 a1 0.005 a2 0.0043
u(t ) 0.005cos nt 0.0043sin nt 0.01sin(10t 300 )
w
F
F ／ 2
F M ( x) x F x 2 2
挠曲线微分方程：
F l xF x d w M ( x) 2 2 2 dx EI EI
2
l x l x 2 2 0
当x
l 2 l 当x 2
第一章习题
P57.1-1: 一物体作简谐振动, 当它通过距平衡位置为0.05m, 0.1m处时的速度分别为0.2m/s和0.08m/s。 求其振动周期、振幅和最大速度。
u(t ) a sin(t ) u(t ) a cos(t )
两边平方，相加
[a u (t )] u (t )
2 2 2 2
代入已知条件
[a 2 0.052 ] 2 0.22 2 2 2 2 [a 0.1 ] 0.08
解出
振动周期： T 2 / 2 / 2.1167 2.9684 振幅： a 0.1069 最大速度=a 0.1069 2.1167 0.2263
u (t ) (5cos t 3)2 (5sin t )2 34 30cos t
(t ) arctan(
5sin t ) 5cos t 3
umax 34 30 8 umin 34 30 2
拍频 | 2 1 || 40 39 | 1 rad/s
很小， sin
mg sin
n
mg sin( )l ml 2
g sin( ) l

P58.1-13: 证明对临界阻尼或过阻尼，系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。
(1) 对临界阻尼情形
u(t ) [u0 (u0 nu0 )t ]ent u(t ) [u0 n (u0 nu0 )t ]ent
# 如果u0 0, u0 0
u(t ) 0
t1
u0 u0 nu0
0
u (t1 ) [u0 nu0 ]e
nu0 u0 n u0
经过平衡位置一次
P58.1-14: 一单自由度阻尼系统， m 10kg时， 弹簧静伸长s =0.01m。自由振动20个循环后， 振 幅从6.4 103 m 降至1 .6 103 m。 求阻尼系数c及20个循环内阻尼力所消耗的能量。
P59.1-18: 质量为100kg的机器安装在刚度k 9 104 N/m和阻尼系数c 2.4 103 Ns/m的隔振 器上，受到铅垂方向激振力 f (t ) 90sin t N作用而上下振动。求 (1) 当＝n时的稳态振幅Bd ; (2) 振幅具有最大值时的激振频率; (3) max(Bd )与Bd的比值;
u(t )与u1 (t )的相位差： 65.50 300 35.50
P57.1-4: 求两简谐运动u1 (t ) 5cos 40t , u2 (t ) 3cos 39t的合成运动的最大振幅和最小振幅， 并求其拍频和周期。
0
0
0
0
0
)
u (t ) u1 (t ) u2 (t ) Re[5e j 40t 3e j 39t ] Re[(5e jt 3)e j 39t ] Re[((5cos t 3) j 5sin t )e j 39t ] Re[u (t )e j (t ) e j 39t ] u (t ) cos(39t (t ))
s

A m g ln( 0 ) n An s
10 6.4 103 9.8 ln( ) 6.91(Ns/m) 20 1.6 103 0.01
20周阻尼器消耗的能量
1 1 mg 2 2 2 k ( A02 An ) ( A0 An ) 2 2 s 10 9.8 ((6.4 103 ) 2 (1.6 103 ) 2 ) 0.19(NM) 2 0.01
系统固有频率： n k m
初始条件： u(0) 0, u(0) v0
u0 v0 m k
2 振幅： a u0 (
n
)2
n
v0
最大张力： T mg ka mg v0 mk 1000 9.8 0.5 1000 4 105 1.98 104 (N)