一 求下列极限 11lim sin n n n→∞ 1sin ≤n 01lim =∞→n n ∴ 0sin 1lim =∞→n n n 2 求lim x xx → 1lim 0-=-→xx x 1lim 0=+→xx x ∴0lim x x x→不存在3 求1lim xx e→,lim 10+∞=+→xx e 0lim 10=-→xx e ∴10lim xx e →不存在0sin 4limsin 5x x x x x →++ 原式=15sin 1sin 1lim 0=++→xx x xx 一 求下列极限11lim cos n n n→∞ ,1cos ≤n 01lim =∞→n n ∴ 0cos 1lim =∞→n n n2 求22lim 2x xx→-- ,122lim 22lim22-=--=--++→→x x x x x x 122lim 2=---→xx x∴22lim 2x xx →--不存在3 求10lim 2xx →,22lim 1lim100+∞==+→+→x xx x 022lim 1lim100==-→-→x xx x∴10lim 2xx →不存在02sin 4lim 3sin x x x x x →++求 原式=43sin 31sin 21lim 0=++→x x x x x 一 求下列极限11lim n tgn n→∞ 不存在 2 求limx ax a x a→--,1lim lim=--=--++→→a x a x ax a x ax a x ,1lim lim -=--=----→→a x xa a x a x a x a x ∴lim x a x a x a→--不存在3 求120lim xx e→,lim 210+∞=+→xx e0lim 210=-→xx e∴ 120lim xx e→不存在0sin 4limsin x mxnx → 原式=nmnx mx nx nx nx mx mx mx x x ==⋅⋅⋅→→00lim sin sin lim二a 取什么值，0()0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩连续 解：)i 0x <，0x >时，()f x 均连续)ii 0x =时，(0)f a =(00)1f -= (00)f a +=所以1a =时(0)(0)1f f ±==，()f x 在0x =处连续综上所述，a=1时()f x 连续解： ()1sin lim 0==+→x x x f x ()1sin lim 0==-→xxx f x∴ ()x f 在0=x 处不连续，0点为可去间断点。

20()0xx f x xx >⎧=⎨≤⎩二已知，讨论f （x ）在0x =处的导数解：(),10='+f (),00='-f ∴ ()x f 在0=x 处不可导。

三 计算下列各题 1 已知2sin ln y x x=⋅ 求,y 解：xx x x y 1sin 2ln cos 2⋅+=' 2 (),()x f x y f e e y =⋅已知，求解：()()()()()()()()()()x f e f e f e e e x f e f e e f e y x x x x f x f x x f x x '+'='+'='23x xe dx⎰求解：⎰⎰+==c e dx e dx xe x x x 222212121,ln[ln(ln )]y x y=求 解：()xx x y 1ln 1ln ln 1⋅⋅='2,,y x x y y =求两边取对数：y x x y ln ln =两边分别求导：y yx y x y x y '⋅+=⋅+'ln 1ln 整理得：()()x y x x yy x y y ln ln --='解：原式=()⎰⎰+=+=+C e e de dx e e xx x x x arctan 11221、3,tan(ln )y x y =已知求 解：()()xx x y 1ln sec ln tan 322⋅⋅=' 2、2,()y f x y =已知，求 解：()22x f x y '='=⎰+-=-C x x d x 1sin 11cos解：两边对x 求导，其中y 是x 的函数2'2'2sec ()(1)sec ()(1)x y y x y y --⋅-=-⋅-2'2sec ()(1)2x y y -⋅-='21(1)sec ()y x y -=-所以'221cos ()sin ()y x y x y =--=-2222010022010490480cos limsin cos lim22cos lim 101cos lim 50x x x x x x x t dtx x t dtx x x x x x x →→→→--=-⋅=-=⎰⎰四求解原式34704sin 1lim 4010x x x x →==证明：对于320()a x f x dx ⎰令2x t =，则2xdxd dt =且x a =时2t a =，0x =时0t =2232000()1()21()2aa a x f x dxtf t dt xf x dx ===⎰⎰⎰左边= 右边 证毕。

五 求y x =，2y x =和2y x =所围平面图形的面积 解：12201223(2)(2)121101231814123376A x x dx x x dxx x x =-+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭=+--+=⎰⎰五 求225y x =-和4y x =-所围平面图形的面积解：)82(4)A x dx =+--⎰⎰28331242222126323218x x ⎫=+-+⎪⎭=+-+=[]2d arctan ;221+x x x πππ+∞+∞-∞-∞⎛⎫===--= ⎪⎝⎭⎰解原式六22(1)24dyx xy x dx++=解：此方程为一阶非齐次线性微分方程22()1x P x x =+224()1x Q x x =+2222231122414()()113xxdx dx xx x y ee dx c c x x x -++⎰⎰=+=+++⎰所以原方程通解为3214()13y c x x =++六 求2(1)(arctan )y dx y x dy +=-的通解解：方程化为2211arctan 11dx x y dy y y+=++此方程为倒线性微分方程22111121(arctan )1dy dy yy x eye dy c y-++⎰⎰=++⎰arctan arctan 21(arctan )1yyeye dy c y-=++⎰arctan arctan (arctan )yyeydec -=+⎰arctan arctan arctan (arctan )y y y e ye e c -=-+所以方程通解为arctan arctan 1yx cey -=+-题外：证明：令x t -=2π，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→→→→0,22,0t x t x ππ ，dx dt -=且()()()()⎰⎰⎰⎰==-=2020220cos sin cos sin ππππdx x f dt t f dt t f dx x f 得证解：x Cx C x x C dx xe ey xdx xdxcos cos 32cos 32cos 12sin 23tan tan +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-21n +++二解：n 项n 项n n n nn n n n n n n n n 11112111111222222+++++++++++++++又 nn n ++∞→21lim=111lim =∞→n故1111lim 222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n nnn n五、求'tan sin 2y y x x +=的通解解：x C x x C dx xe e y xdx xdx cos 32cos 32cos 12sin 23tan tan +-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-解：21arcsin arcsin 110102π===--⎰⎰--xx d xdx一 求下列极限解： 111lim 11lim 11-=--=----→→x x x x x x 111lim 11lim 11=--=--++→→x x x x x x∴ 111lim x x e-→不存在解： -∞=--→11lim 1x x +∞=-+→11lim 1x x ∴111lim x x e-→不存在解： 212sin lim cos 1lim 020==-→→x x xx x x原式=565021cos sin 2lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎭⎫⎝⎛→x x xx x 求 ()ctgxx x sin 21lim 0+→()()2cos 2sin 21sin 21lim sin 21lim e x x x xx ctgxx =+=+⋅→→求 原式=212lim122100121lim e ex x x xx x x x ==⎪⎭⎫⎝⎛-+--⋅-→→三、计算下列各题1解：22222212211ax a x xa x x y +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅++=''y解：()()()()()()()()()()322323213263132333232131+++⋅+++⋅=+++-++⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅='-x x x x x x x x x xx x x x y3解：C x x xd xdx x +==⎰⎰322ln 31ln ln ln 1求⎰dx ex x 23解：()()()C x e C e x e xdx e x e de x dx e x x x x x x x x+-=+-⋅=-⋅==⎰⎰⎰121212212122223222222234sin xdx ⎰求 解：原式=()⎰++-=--C x x x d x 3cos cos cos cos 132"4()xf x dx⎰求 解：原式=()()()()()⎰⎰+-'='-'='C x f x f x dx x f x f x x f xdln xdx ⎰求解：⎰⎰+-=-=C x x x x xd x x xdx ln ln ln ln。