概率论与数理统计复习题填空题1.设随机变量X 的分布律为1{}(),1,2,3,42k P X k A k ===，则A= 。

答案：16152.设总体X 服从均匀分布(1,)U θθ-, θ为未知参数。

12,,,n X X X 为来自总体X的一个简单随机样本，X 为样本均值，则θ的矩估计量为 。

答案：12X +3.设X 服从参数为1的指数分布(1)e ，Y 服从二项分布(10,0.5)B ， 则()()D Y D X = 。

答案：4.设A,B,C 为三个随机事件，则“A,B,C 中只有两个发生”可表示为 。

答案：ABC ABC A BC ⋃⋃5.某袋中有7个红球、3个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回， 则乙取到红球的概率为 。

答案：6.设A,B,C 为三个随机事件，则“A,B,C 中只有一个发生”可表示为 。

答案：AB C ABC A BC ⋃⋃7.某袋中有9个红球、3个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回，则乙取到白球的概率为 。

答案： 选择题1、一批产品中有正品也有次品，从中随机抽取三件，设A ，B ，C 分别表示抽出的第一件、第二件、第三件是正品，下列事件不能描述“正品不多于两件”的是（ C ）。

16,,X 为来自总体则( A )3、在假设检验中，0H 表示原假设，1H 表示对立假设，则犯第一类错误的情况为( C )（A ）0H 真，接受0H （B ）0H 不真，接受0H （C ）0H 真，拒绝0H （D ）0H 不真，拒绝0H4、设1234,,,X X X X 是来自均值为μ的总体的样本，其中μ未知，则下列估计量中不是μ 的无偏估计的是( B )。

设X 服从参数为λ的Poisson 分布，即~()X P λ，则()()E X D X =（ A ）。

(A) 1 (B) λ (C) 1λ(D) 0 6.设随机变量~(2,4),~(0,1),,X N Y N X Y 且相互独立，2Z X Y =+，则~Z （ B ）。

(A) N(6,8) (B) N(2,8) (C) N(0,6) (D) N(0,46) 简答题设随机变量Z 在[]5,6-上服从均匀分布，0,11,1Z X Z ≤-⎧=⎨>-⎩，1,11,1Z Y Z -≤⎧=⎨>⎩， 写出(,)X Y 的联合分布律。

解：4{0,1}{1,1}{1}11P X Y P Z Z P Z ==-=≤-≤=≤-=， {0,1}{1,1}0P X Y P Z Z ===≤->=，2{1,1}{1,1}{11}11P X Y P Z Z P Z ==-=>-≤=-<≤=， 5{1,1}{1,1}{1}11P X Y P Z Z P Z ===>->=>=即为设某种元件的寿命X (单位：小时)服从指数分布，其概率密度为13001,0()3000,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩。

（1）求元件寿命超过600小时的概率；（2）若有3个这种元件在独立的工作，求其中至少有2个元件的寿命超过600小时的概率。

解：（1）23006001{600}300xP X e dx e -+∞->==⎰（2）至少有2个元件的寿命超过600小时的概率为 222223463()(1)()32C e e e e e ------+=-一盒灯泡共12个，其中10个合格品，2个废品（点时不亮）。

现从中任取一个使用，若取出的是废品，则废品不再放回，再取一个，直到取得合格品为止。

求在取得合格品以前已取出的废品数X 的分布律、数学期望和方差。

解：X 的所有可能取值为0，1，2. 故X 的分布律为10{0}12P X ==，2105{1}121133P X ==⋅=，21101{2}12111066P X ==⋅⋅=， 即所以22,,1133363EX EX DX ===设随机变量X 与Y 相互独立, 下表给出了二维随机变量(,)X Y 的联合分布律及X 和Y 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表的空白处。

（注意：必须有简单的计算依据，无依据扣分）答案：因为X 与Y 独立，所以..,1,2,1,2,3ij i j p p p i j ===。

又,1ij i jp =∑，故得如下表格。

设总体X 具有密度函数(1), 01(;)0, x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩其它，其中θ是未知参数，1(,,)n X X ⋯ 是来自总体X 的样本。

求：（1）θ的矩估计量； （2）θ的极大似然估计量。

解：（1）101()(1)d 2E X x x x θθθθ+=+=+⎰ 令12X θθ+=+, 解得21ˆ.1X X θ-=-（2）11()(,)(1)(,,),nn i n i L f x x x θθθθ===+∏1ln ()ln(1)ln ni i L n x θθθ==++∑1d ln ()ln 0d 1nii L nx θθθ==++∑令，解得11.ln nii nxθ==--∑ 所以1ˆ1.ln nii nXθ==--∑设1234,,,X X X X 是来自总体X ～N (0,6)一个简单随机样本，若221234(+2)(2)Y a X X b X X =+-服从2()n χ分布，求,,a b n 。

（要有求解过程）。

解：12122(0,30),(0,1)30X X N N +34342(0,30),(0,1)30X X N N -且12342,2X XX X +-相互独立， 222(2)χ+12,30n a b ∴===甲厂和乙厂生产同样的产品，生产后集中到一起。

已知甲厂生产的产品占60%，乙厂生产的产品占40%。

两厂生产产品的次品率分别为1%和2%。

现从这些产品中任取一件，求取到的恰好是次品的概率。

解：设A ：任取一件恰好是次品 B ：甲厂生产, 则()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+=60%*1%+40%*2%=设随机变量X 的概率密度函数为2, 02()0, Ax x f x ⎧<<=⎨⎩其它求：（1）A 的值；（2）X 的分布函数)(x F ；（3）()D X 。

解：解：（1） 220()1f x dx Ax dx +∞-∞==⎰⎰令， 得 38A =（2）30,01()(),0281,2xx F x f x dx x x x -∞≤⎧⎪⎪==<<⎨⎪≥⎪⎩⎰（3）22033()()82E X xf x dx x x dx +∞-∞==⋅=⎰⎰ 222220312()()85E X x f x dx x x dx +∞-∞==⋅=⎰⎰ 223()()[()]20D XE X E X ∴=-=设总体X 服从参数为λ的指数分布, 即,0()0,x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩， 其中0λ>为未知参数，12,,,n X X X 为来自总体X 的一个简单随机样本，求λ的最大似然估计ˆλ。

解：1()1()(,)ni i n x ni i L f x eλλλλ=-=∑==∏1ln ()ln ().ni i L n x λλλ==-∑令1ln ()()0.ni i d L nx d λλλ==-=∑ 解得 1.nii nxλ==∑故λ的最大似然估计量为11ˆ.nii nXXλ===∑袋中有5个球，其中有3个红球、2个白球，从中任取两球，求取出的两球颜色相同的概率。

解：113225215C C C -=箱子中有10只开关，其中2只是次品，8只是正品。

在其中不放回地取两次，每次取一只。

令0,1,X ⎧=⎨⎩若第一次取的是正品若第一次取的是次品，0,1,Y ⎧=⎨⎩若第二次取的是正品若第二次取的是次品 求),(Y X 的联合分布律。

解：8728{0,0}10945P X Y ===⋅=， 828{0,1}10945P X Y ===⋅=， 288{1,0}10945P X Y ===⋅=， 211{1,1}10945P X Y ===⋅=设X 的概率密度函数为2200,200()0,200x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，求X 的分布函数()F x 。

解：()()d x F x f t t -∞=⎰22000,200,200200d 1,200,x x t x t x <⎧⎪=⎨=-≥⎪⎩⎰设总体X 的分布律为其中01θ<<为未知参数，现有8个样本观测值 1,1,1---，0，1，1，1-，0，（1）求θ的矩估计1ˆθ； （2）求θ的极大似然估计2ˆθ。

解：（1）22(1)12EX θθθ=-+-=-,14x =- EX x =令， 得 15ˆ8θ= （2）8242221061()()[][2(1)][(1)]4(1)i i L P X x θθθθθθθ==∏==--=-ln ()ln 410ln 6ln(1)L θθθ=++-，令ln ()1110601dL d θθθθ=-=-， 得25ˆ8θ= 设总体X 的概率密度函数为1,01()0,x f x <<=⎪⎩其他，其中0>θ为未知参数，),,,(21n X X X 为来自这个总体的样本。

求：（1）θ的矩估计；（2） θ的最大似然估计量。

解： （1）2ˆ1X EX x X θ⎛⎫==⇒= ⎪-⎝⎭⎰（2）112121()(),n nn i L x x x θθθ-===1ln ()ln 1)ln 2ni i nL x θθ==+∑1d ln ()ln 0d 2nii L n xθθθ==+ 解出21ln ni i nxθ=⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑ 所以θ的极大似然估计为21ˆ.ln ni i n Xθ=⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑设有甲乙两个袋子，甲袋中有3个红球、4个白球；乙袋中有2个红球、5个白球。

现在从甲袋中任取两个球放入乙袋中，再从乙袋中任取一个球。

（1）求从乙袋中取出的这个球为红球的概率；（2）若已知从乙袋中取出的这个球为红球，求从甲袋中取出的这两个球都为红球的概率。

解：（1）A: 从乙袋中任取一个为红球k B : 从甲袋中恰取出k 个红球，k=0,1,22()()(|)k k k P A P B P A B ==∑112234342227772342243342099979797963C C C C C C C =⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=（2）232722249(|)()1(|)20()563C C P A B P B P B A P A ⋅===对同一靶子进行两次独立地射击，每次击中的概率为。

设X 表示两次射击中击中靶子的次数。