一、填空题
1、子空间412341234{[,,,]R 0,0}W x x x x x x x x =∈+=+=的维数为__________________.
2、设向量组12(I),αα和 123(II),,ααα的秩均为2, 向量组124(III),,ααα的秩为3, 则向量组1234,,23−αααα的秩为___.
3、设3阶方阵A 的特征值为1,2, 则223______.−+=A A E
4、设矩阵21222361a −
=−− −
A 与矩阵diag(2,2,4)=−
B 相似, 则_______.a = 5、设3阶方阵A 的全部特征值为123,,λλλ, 且123,,λλλ互异, 对应的特征向量依次为1230111,,1110k
===
ααα, 则参数k 的取值范围是___________.
二、选择题
1、设矩阵A 与B 相似, 则下列结论中错误的是( ).
(A) 2A 与2B 相似 (B) A+E 与B +E 相似 (C) T A 与T B 相似 (D) T A+A 与T B +B 相似
2017 ～ 2018 学年第一学期期末考试试卷 《 线性代数及其应用 》 （A 卷 共4页）
1
2、设向量β可由向量组12,,,m ααα线性表示, 但不可由121(I),,,m − ααα线性表示, 记121(II),,,,m − αααβ, 则( ). (A) 向量m α不可由向量组(I)线性表示, 也不可由向量组(II)线性表示 (B) 向量m α不可由向量组(I)线性表示, 但可由向量组(II)线性表示 (C) 向量m α可由向量组(I)线性表示, 也可由向量组(II)线性表示 (D) 向量m α可由向量组(I)线性表示, 但不可由向量组(II)线性表示
3、设A 为m n ×矩阵, 非齐次线性方程组=βAX 有唯一解, 则( ). (A) 向量β可由矩阵A 的线性无关的列向量组线性表示 (B) 向量β可由矩阵A 的线性无关的行向量组线性表示 (C) 向量β可由矩阵A 的线性相关的列向量组线性表示 (D) 向量β可由矩阵A 的线性相关的行向量组线性表示
4、设A 为n 阶实对称矩阵, 则−A E 正定矩阵当且仅当A 的特征值( ). (A) 全为正数 (B) 全小于1 (C) 全大于1 (D) 全为1
5、设实对称矩阵A 与120210002−
=−
B 合同, A *为A 的伴随矩阵, 则实二次型f X ()=X T A*X 的规范形为( ). 2
(A) 222123y y y ++ (B) 222123y y y +− (C) 222123y y y −− (D) 222
123y y y −−−三、1、求向量组123411210251,,,20131141
− =
=== − −
αααα的秩和一个极大无关组, 并用该极大无关组线性表示其余向量. 2、设矩阵12212221a =
A , 11b
=
α是1−A 的对应于特征值λ的特征向量, 求常数,a b 的值以及λ的值. 四、试问a 取何值时, 线性方程组1231231
232,2(2),1x x x x a x x a x x ax a +
+= ++−=
−−+=− 有唯一解, 无解, 无穷多解？在有解时求其通解. 五、设123,,ααα是线性空间V 的一个基, 且11223323,,2==+=+βαβααβαα. (1) 证明123,,βββ也是V 的一个基;
(2) 求由基123,,βββ到基123,,ααα的过渡矩阵; 123+2α+α3在基123(3) 求γα=ββ,,β下的坐标.
六、设σ是线性空间R 3上的线性变换, 规定σ()=[,y z ,x ],T αα∀=[x ,,y z ]T 3∈R .
(1) 求σ在标准基123=[1,0,0],εε=T [0,1,0],=[T
T ε0,0,1]下的矩阵A ;
3
七、求一个正交线性替换, 将实二次型222123123121323(,,)710744f x x x x x x x x x x x x =++−−+化为标准形, 并写出其标准形. 八、设 ,αβ分别是长度为1,2 的3 元列向量, 且α 与β 正交, 记A =αβ + 4βαT T . 证明(1) r A ()≤ 2；(2) 矩阵A 可对角化.
填空题: 1、2. 2、3. 3、6. 4、3. 5、2k ≠. 选择题: DBACC
三、1、秩为3, 41232=+−αααα. 2、2,2,1a b λ==
−=−或1
5
2,1,a b λ===.
四、0,1a a ≠≠−, 唯一解[]T
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123,,,1,1a a x x x =− ; 0a =, 无解; 1a =−, 无穷多解T T [3,5,0][2,3,1]k =
−+−X . 五、过渡矩阵为100021011 −
− ; 坐标111
. 六、(1) 010001100
; (2) 490241120
− −
. 七、123λ=λ=6,λ=12. (2) 求σ在标准基123=[1,α0,0],=T [2,α1,0],=T [α0,2,1]T 下的矩阵B .
4
答案。