已知平面上两点P1（x1,y1)， P2（x2,y2),如何求P1、 y P2的距离|P1P2| ？ 在直角△P1QP2中，
P2
2
N2
探
P1P2 P1Q QP2
2
2
M1 O
M2 N1
2
究
x
P1Q M1M 2 x 2 x1 QP2 N1N 2 y 2 y1
Q
P1
与 发 现
x
代入：x+2y-1+λ(2x-3y-5)=0 得 0+λ· 0=0
∴MC1+λ(A2x+B2y+C2)=0是过直线 A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。
两条直线的位置关系
已知方程组 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 （1） （2 ）
例：求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点 M的坐标，并证明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－ 5）=0（λ为任意常数）表示过M点的所有直线 （不包括直线2x－3y－5=0）。 y
3x+2y－1=0
证明：联立方程 2x－3y－5=0
x=1 解得： y= - 1
即M(1,-1)
o
M(1,-1)
3.3.1—2 两条直线的交点坐标 与两点间的距离
东莞市樟木头中学
李鸿艳
两条直线的位置关系
已知方程组 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 （1） （2 ）
A 1 B1 当 时，两条直线相交，交点坐标为 A2 B2 B1C2 B2C1 C1A 2 C2 A1 ( ， ) A1B2 A 2 B1 A1B2 A 2 B1
A 1 B1 当 时，两条直线相交，交点坐标为 A2 B2 B1C2 B2C1 C1A 2 C2 A1 ( ， ) A1B2 A 2 B1 A1B2 A 2 B1
A1 B1 C1 当 时，两直线平行； A 2 B 2 C2
当 A1A 2 B1B2 0时，两条直线垂直。
（3x-y-10=0）
巩固
①两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在x轴上， 则m的值是 （A）0 （B）24 （C）±6 （D）以上都不对 ②若直线x+2y+k=0和x+y +1= 0相交，且交点在第二象 限，则k的取值范围是 （A）（- ∞ ，1） （B）（1，2） （C）（-1，2） （D）（2，＋∞） ③若两直线（3－a）x+4y=4+3a与2x+（5－a）y=7平 行，则a的值是 （A）1或7 （B）7 （C）1 （D）以上都错 ④当k为何值时，直线 y=kx-3过直线2x-y+1=0与y=x+5 的交点? k=3
A1 B1 C1 当 时，两直线平行； A 2 B 2 C2
当 A1A 2 B1B2 0时，两条直线垂直。
目标
重点
1）掌握两直线交点和二元一次方 程组的联系、两点间距离公式，从 而认识事物之间的内的联系。 2）培养学生数形结合能力；
掌握两直线交点和二元一次方程组 的联系、两点间距离公式
把代数运算结 果“翻译”成 几何关系。
交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定 A x+B y+C =0 1 1 1 是它们的方程组成的方程组 的解； A2x+B2y+C2=0
A1x+B1y+C1=0 反之，如果方程组 只有一个解，那 A2x+B2y+C2=0 么以这个解为坐标的点就是直线A1x+B1y+C1=0和 A2x+B2y+C2=0的交点。
练习
3、判断下列各对直线的位置关系，如果相交， 求出交点的坐标：
（1） l1:x-y=0,
（2）l1:3x-y+4=0, （3）l1:3x+4y-5=0,
l2:3x+3y-10=0;
l2:6x-2y=0; l2:6x+8y-10=0;
垂直 平行 重合
4、求经过两条直线x+2y-1=0和2x-y-7=0的交点， 且垂直于直线x+3y-5=0的直线方程。
练习
1：求下列两条直线的交点： l1：3x+4y－2=0； l2：2x+y+2=0. 3x+4y－2 =0 得 解：解方程组 2x+y+2 = 0 ∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
x= －2 y=2
2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0. x= 2 x－2y+2=0 得 y=2 解：解方程组 2x－y－2=0 ∴l1与l2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为y=kx 把（2，2）代入方程，得k=1， ∴所求方程为y=x
P1P2
的距离为
x2 x1 y2 y1
2
特别地，原点O（0，0）与任意一点P(x,y)
OP x y
2
2
练习
1、已知点A（-1，0），B（1，2），在y轴上 求一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值。 解：设所求点P（0，y），因为|PA|=|PB| 所以 (-1 - 0)2 (0 y )2 (1 0)2 ( 2 y )2
难点
两直线相交与二元一次方程的关系 及两点间距离公式的推导
二元一次方程组的解有下列情况：
提 问
唯一解，无解,无穷多解
在直角坐标系中两条直线的位置关系有下列情况
相交，平行，重合
二元一次方程组的解与直角 探 坐标系中两直线的位置关系 讨 有怎样的联系？
两条直线的交点
如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0相
即：y2+1=y2-4y+5,解得 y=1 所以，所求点P（0，1）且
PA (-1 - 0) 2 (0 1) 2 2
例2、证明平行四边形四条边的平方和等于两条 对角线的平方和。
y
D(b,c) C(a+b,c)
o A(0,0)
B(a,0)
x
建立坐标系， 用坐标表示有 关的量。
进行有关的代 数运算。