25．（本题满分12分）
已知：直线a ∥b ，P 、Q 是直线a 上的两点，M 、N 是直线b 上两点。

（1）如图①，线段PM 、QN 夹在平行直线a 和b 之间，四边形PMNQ 为等腰梯形，其两腰PM ＝QN 。

请你参照图①，在图②中画出异于图①的一种图形，使夹在平行直线a 和b 之间的两条线段相等。

（2）我们继续探究，发现用两条平行直线a 、b 去截一些我们学过的图形，会有两条“曲线段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”。

把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）。

请你在图③中画出一种图形，使夹在平行直线a 和b 之间的两条曲线段相等。

（3）如图④，若梯形PMNQ 是一块绿化地，梯形的上底PQ ＝m ，下底MN ＝n ，且m ＜n 。

现计划把价格不同的两种花草种植在S 1、S 2、S 3、S 4四块地里，使得价格相同的花草不相邻。

为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草？请说明理由。

25．（本题满分12分）
王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm 的正方形板子；另一块是上底为30cm ，下底为120cm ，高为60cm 的直角梯形板子（如图①），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材。

他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCDE 围成的区域（如图②），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B 为一个顶点。

（1）求FC 的长；
（2）利用图②求出矩形顶点B 所对的顶点．．．．．到BC 边的距离)(cm x 为多少时，矩形的面积最大？最大面积时多少？ （3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。

P Q M N
a b 第25题图① a b 第25题图② a
b
第25题图③
P Q M N
a b 第25题图④ S 1
S 2
S 3 S 4 n m
25．（本题满分12分）
如图，O 的半径均为R ．
（1）请在图①中画出弦AB CD ，，使图①为轴对称图形而不是．．中心对称图形；请在图②中画出弦AB CD ，，使图②仍为中心对称图形； （2）如图③，在
O 中，(02)AB CD m m R ==<<，
且AB 与CD 交于点E ，夹角为锐角α．求四边形ACBD 面积（用含m α，的式子表示）； （3）若线段AB CD ，是
O
的两条弦，且AB CD ==，你认为在以点A B C D ，，，为顶点的四边形中，
是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由．
25、（本题满分12分）
某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。

如图，甲、乙两村坐落在夹角为30
°的两条公路的AB 段和CD 段（村子和公路的宽均不计），点M 表示这所中学。

点B 在点M 的北偏西30°的3km 处，点A 在点M 的正西方向，点D 在点M 的南偏西60
°的处。

为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：
方案一：供水站建在点M 处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；
方案二：供水站建在乙村（线段CD 某处），甲村要求管道铺设到A 处，请你在图①中，画出铺设到点A 和
点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；
方案三：供水站建在甲村（线段
AB 某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。

综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？
（第25题图①） （第25题图②） （第25题图③） （第25题图④）
图①
图②
25．（本题满分12分） 问题探究
（1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使90APB ∠=°的一个．．
点P ，并说明理由． （2）请在图②的正方形ABCD 内（含边），画出使60APB ∠=°的所有．．
的点P ，并说明理由． 问题解决
（3）如图③，现在一块矩形钢板43ABCD AB BC ==，，．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的APB △和CP D '△钢板，且60APB CP D '∠=∠=°．请你在图③中画出符合要求的点P 和P '，并求出APB △的面积（结果保留根号）．
25.（本题满分12分）
问题探究(1)请你在图①中做一条．．
直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分； （2）如图②点M 是矩形ABCD 内一点，请你在图②中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分。

问题解决
（1） 如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中
DC ∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P （4,2）处。

为了方便驻区单位准备过点P 修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的了部分，你认为直线l 是否存在？若存在求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由
D C B A ① D C B
A ③ D C
B A ② （第25题图）
25．（本题满分12分）
如图①、在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F,然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个_________三角形
(2)如图②、甲在矩形ABCD,当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；
（3）、如图③，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？
若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？25.（本题满分12分）
问题探究
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.
问题解决
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点.如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.
M
D
B C
A
P
D
B C
A
（第25题图）
①
②③
25.（本题满分12分）
问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4.如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个
．．等腰△APD，并求出此时BP的长；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点.当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；
问题解决
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安监控装置，用来监视边AB.现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳.已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m,ED=285m，CD=340m.问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长；若不存在，请说明理由.
图①图②图③25．（本题满分12分）
如图，正三角形ABC的边长为3+3．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E F
、在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形''''
EFPN，且使正方形''''
EFPN的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形''''
EFPN的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE EF
、在边AB上，点P N
、分别在边CB CA
、上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．。