n
①项：
a
n
a
n 1
1 n
n
b a

n k
b
k
b
C
n
②系数：
C
b
k
0 n
C
C
k n
n n
分析a
n k
n个(a b)相乘
k个(a b)中选b
n k 个(a b)中选a
C
k n
n=1时候也满足？
(a+b)1＝ a+b
恰有0个取b的情况有C10种，则 a 前的系数为C10 恰有1个取b的情况有C11种，则 b 前的系数为C11
a 2 2ab b2 a b


a 3 2a 2 b ab2 a 2 b 2ab2 b3
=a3 + 3 a2 b+ 3a b2 + b3
大家说说看，等式的右边有什么共同规律？
( a + b ) 2 = a2 + 2a b + b2 ( a + b ) 3 =a3 + 3 a2 b+ 3a b2 + b3 ( a + b ) 4 =( a + b ) 3 ( a + b ) =a4 + 4 a3 b+ 6 a2 b2 +4 a b3+ b4 ( a + b ) n =？
(a+b)3 = C30 a3 + C31 a2b+C32 ab2 + C33 b3 ＝a3 + 3 a2 b+ 3a b2 + b3
(a+b)2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3 ＝ C30 a3 + C31 a2b+C32 ab2 + C33 b3
若从a考虑
(a+b)3 ＝ C33 a3 + C32 a2b+C31 ab2 + C30 b3
分析：从(2 x)4 对应(a b) n 中找出a、b、n
4 解: (2 x) 中a 2，b x，n 4
Tk1 C a b C 2 x
k n-k k n k 4 4-k
k
练习：写出 解:
4
(2-x)
4
0
4 的展开式和通项．
a 2 b -x n 4
(a+b)1 = C10 a + C11 b ＝a + b
二项式定理
一般地，对于n ∈N*有
(a b) C a C a b C a
n 0 n n k n
1 n1 n
n k
b C b
k
n n n
1、定理中的a,b仅仅是一种符号，它可以是任 意的数或式子，只要是两项相加的n次幂，就能运 用二项式定理展开。（减法可以转换成加法，多 项相加可以转换成2部分相加） 2、若a=b=1
k n-k n
4 的展开式和通项．
4 4 (2-x) 2 （-x) 中a 2，b -x，n 4
Tk 1 C a b C 2
k k 4
4-k
-x
k
今其简单应用
2、二项展开式的通项公式推导
作业：课本p37.A组第2题.
每项的组成都由各括号a、b中出一个，再相乘
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
看看因式相乘有什么特点？
a1 b1 a 2 b2 a1a 2 a1b2 b1a 2 b1b2 a1 b1 a 2 b2 a 3 b3 a1a 2 a1b2 b1a 2 b1b2 a 3 b3
a1a 2a 3 a1b2a 3 b1a 2a 3 b1b2a 3 a1a 2b3 a1b2b3 b1a 2b3 b1b2b3
二项式定理（一）
市高数学组--李铮
复习
n！ C n - m m！ ！ 4！ 4 3 2 1 2 6 C4 2！！ 2 2 1 2 1
m n
今天要讲的二项式定理是什么?
( a + b ) 2 a ba b＝ a2 + 2a b + b2 ( a + b ) 3 a b a b a b
解:
(2 x)
4
(2 x) 的展开式和通项．
4
a2 bx
n4
3 1 3 C 4 0 4 C C4 2 x C4 2 x C4 2 x 4 2 x 4 2 x 0 4
0
1 3 1
2 2
2
16 32x 24x 2 8x 3 x 4
例 2：写出
(2 x)
4
的展开式和通项．
2 C C C C
n 0 n 1 n k n
n n
例1.写出( a + b ) 7 的展开式
( a + b ) 7 = C70 a7 + C71a6b+ C72 a5 b2 + C73 a4b3
+ C74 a3b4+ C75 a2b5+C76 ab6+ C77 b7
例 2：写出
(a+b)4 ＝ C40 a4 ＋ C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋ C43 ab3 ＋ C44 b4 =a4 + 4 a3 b+ 6 a2 b2 +4 a b3+ b4
......
( a + b ) n=？
n ( a b ) 请分析 的展开过程.
(a b ) (a b)( a b )(a b)
(a+b)2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+b2
(a+b)3＝ (a+b) (a+b) (a+b) ＝？
a3 a2b ab2 b3
恰有0个取b的情况有C30种，则 a3 前的系数为C30
恰有1个取b的情况有C31种，则 a2b 前的系数为C31
恰有2个取b的情况有C32 种，则 ab2 前的系数为C32 恰有3个取b的情况有C33 种，则 b3 前的系数为C33
1 3 4 1 2 2 4 2
2 - x 2 （- x）
0 4 4 3 4
C 2 -x C 2 -x C 2 -x C 2 -x C -x 2 4 16-32x 24x -8x x
3 4 4 3 4
练习：写出
解:
(2-x)