4
0 2 1 2 2 (a b) C2 a C2 ab C2 b
(a b) C a C a b C ab C b
3
0 3 3
1 2 3
2 3
2
3 3 3
(a b) C a C a b C a b C ab C b
4
0 4 4
1 3 4
2 2 2 4
二项式系数为
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
巩固练习
在(1 2 x) 的展开式中
7
求第4项，并指出它的二项式系数和系数是 什么？
课堂小结
1.二项式定理： n 0 n 1 n 1 k nk k n n (a b) Cn a Cn a b Cn a b Cn b k (1)二项式系数： Cn , (k 0,1,2,3n)
滕州市第二中学 冯庆鹏
2016-5-10
《观书有感》
朱熹,南宋著名理学家.
半亩方塘一鉴开, 天光云影共徘徊. 问渠那得清如许, 为有源头活水来.
探究1
2
推导 (a b) 的展开式.
2
(a b) (a b)(a b) a a a b b a b b 2 2 a 2ab b
0 5 5 1 5 4
0 n n
1 n 1 n
2 5 3
k nk k n
3 4 5
n n n
5 5 5
5
2 3 5 2 4
C 2 C 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x 2 3 4 5 32 80x 80x 40x 10x x
问：展开式中第四项为？第四项的系数为？ 第四项的二项式系数为？
二项展开式的结构特征：
①项数： ②次数： 共有n＋1项 各项的次数都等于n， ③展开式中项的排列方式如何？
, 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
字母a按降幂排列，次数由n递减到0
二项式定理:
n 0 n n
一般地，对于nN*，有：
1 n 1 n k n nk k n n n
(a b) C a C a b C a b C b
(2)二项展开式的通项： Tk 1
C a
k n
n k
b
k
2．典型例题
(1) 求形如 (a b) n 的展开式问题。
方法
直接利用二项式定理
(2) 求二项展开式的第几项及其系数、二项式系数。
(3)
求二项展开式中含x的几次方的项的问题。
利用通项
1、巩固型作业：
课本36页 习题1.3 A组 1、3、4（1）（2）5 2、思维拓展型作业：（查阅相关资料）
3 4
3
4 4 4
(a b) ?
n
探究4：请分析 (a b) 的展开过程
n
(a b) (a b)( a b) (a b)
n
项的形式： 系数：
a
n
a
n 1
1 n
n
b a

n k
b b
C
n k
k
n
C
0 n
C
C
k n
n n
那么对于 (2 x) 的展开式呢？ 5 5 析：(2 x) 2 ( x)
5
典例导航
1 5 例1 在( 2 x ) 的展开式中 x （1）请写出展开式的通项。 （2）求展开式的第4项。 （3）请指出展开式的第4项的系数，二项式系数。 3 （4）求展开式中含 x 的项。
注意：区别二项式系数与项的系数的概念
（1）查阅有关杨辉一生的主要成就。 （2）探究二项式系数
2 n 0 1 有何性质. ， ，Cn Cn ，Cn ，Cn
杨辉，南宋时期杰 出的数学家和数学 教育家
二项式定理，又称牛顿二项式定理， 由艾萨克· 牛顿于1664-1665年间提 出．
二项式定理在组合理论、开高次方、 高阶等差数列求和，以及差分法中 都有广泛的应用．
定理应用， 初步体验
(a b) C a C a b C a b C b
n
练习： (2 x)
项的系数：
C
0 2
C
1 2
C
2 展开式项的排列方式如 2 何？（按照a的降次幂
分析ab
(a b)(a b) (a b)(a b)
C
还是升次幂排列的？） 1 2
展开式：
0 2 1 2 2 (a b)2 C2 a C2 ab C2 b
探究2
3
推导 (a b) 的展开式.
3
(a b) (a b)(a b)(a b)
请用分步乘法计数原理
解释一下？ 问：合并同
2
项的形式： a
3
0 3
a b
C
1 3
2
ab
C
b
3
3 3
C 项的系数：
2 3
C
1 3
类项后的展 开式中，共 有几项？
每项的次数 为几次？ 展开式项的 排列方式如 何？（按照a 的降次幂还 是升次幂排 列的？）
请利用组合的知识解释下 为什么a k 数是 C n 呢？
b
k
的系
二项式定理:
n 0 n n
一般地，对于nN*，有：
1 n 1 n k n nk k n n n
(a b) C a C a b C a b C b
这个公式叫做二项式定理，很显然二项式定理是研 n ( a b ) 究形如 的展开式问题。
2
分析a 2b (a b)(a b)(a b)
(a b)(a b)(a b) (a b)(a b)(a b)
3 0 3 3
C
1 2 3
展开式： (a b) C a C a b C ab C b
2 3

3 3 3
探究3
2
仿照上述过程,推导(a b) 的展开式.
把各项的系数
k Cn , (k 0,1,2,3n) 叫做二项式系数
即（1）二项式系数: C , (k 0,1,2,3n)
k n
式中
C a
k n
n k
b
k
叫做二项展开式的通项，
为展开式的第k+1项，用
Tk 1 表示
k n n k
即（2）二项展开式的通项:
Tk 1 C a
b
k
问： 合并同类项前的展开式中，共有几项？ 能利用分步乘法计数原理解释一下吗？
每项的次数为几次？
探究1
2
推导 (a b) 的展开式.
2
(a b) (a b)(a b) a a ab b a bb 2 2 问：合并同类项后的展 a 2ab b 开式中，共有几项？ 2 项的形式： a 2 b 每项的次数为几次？ ab