网络图论图论是数学的一个分支，是富有
趣味和应用极为广泛的一门学科。

(1)图
图(a)电路，如果用抽象线段表示支
路则得到图(b)所示的拓扑图，它描
述了电路的点和线的连接关系，称
为电路的图。

定义：图G 是描述电路结点支路连
接关系的拓扑图，它是支路和结点
的集合。

1）支路总是连接于两个结点上。

2）允许孤立结点存在，不允许孤立的支路存在。

移走支路，该支路连接的两个结点要保留在电路中，而移走结点，则要将连接于该结点的所有支路移走。

电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结
点与电路的支路和结点一一对应。

9.1 网络图论的基本概念
(3)有向图：标示了参考方向
的图
(2)子图：图G1中的所有支路
和结点都是图G
中的支路和结点，则称G1
是G 的一个子图。

子图示例
9.1 网络图论的基本概念
(4)连通图
图中任何两结点之间存在由支路
构成的路径，则称为连通图。

连通图和非连通图示例
9.1 网络图论的基本概念(5)回路
从某个结点出发，经过一些支路
(一条支路仅经过一次)和一些结
点(每个结点仅经过一次)又回到
出发点所经闭合路径。

树和非树示例
(6)树
G1是G 的一个子图，且
满足以下三个条件：
A 、是连通的；
B 、包含G 中所有结点；
C 、不包含回路。

G1称为G 的一棵树。

9.1 网络图论的基本概念
(7)树支、树支数
构成树的支路称为树支。

树支数为：
割集示例
(8)连支、连支数
不属于树的支路称为连支。

连支数为：
(9)割集、割集方向
移走某些支路，图分成了两个分离的
部分，则这些支路的集合称为割集。

割集的方向：从一部分指向另一部分
的方向。

9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL
和KVL方程的矩阵形式
(1)增广矩阵
描述图中结点和支路关联情况的矩阵。

矩阵元素：
增广矩阵为n
×b 阶矩阵。

图9.2.1图的增广矩阵：
9.2.1 关联矩阵A
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
(2)关联矩阵A
增广矩阵每一列对应一条支路，非零元素两个，一
个是1一个是-1，表示1号支路从1号结点流向2号结
点；每一行代表一个结点，如第1行表示支路1、4、
6连在1号结点，且支路1从1号结点流出，支路4流
入1号结点，支路6流出1号结点。

增广矩阵中只有n-1行是独立的，删除任一行，即得
到关联矩阵A:（(n-1)×b阶矩阵）
思考：如何由A画出有向图？
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
9.2.2 回路矩阵B
描述独立回与与支路的关联矩阵称为回路矩阵。

独立回路：
一个电路回路很多，如果回路的KVL方程相互独立，则称这些回路是独立的。

独立回路的个数及选取方法：
连接n个结点至少需要n-1条支路，所以树支集合是连接n个结点最少支路的集合，少一条则是非连通，多一条则构成回路。

所以，选独立回路可以选单连支路回路，即所谓的基本回路。

只有一根连支，其它都是树支，称为单连支回路，或称基本回路。

独立回路个数：b-n+1,即等于连支数。

独立回路选取方法：对较简单电路通过观察选取，平面电路选网孔；对复杂电路选
基本回路作为独立回路。

9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
回路矩阵是l=(b-n+1)xb阶矩阵，其元素：
右图所示B矩阵：
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
如果以1、2、3为树支，以基本回路为独立回
路，并且以连支作为回路的正方向，支路的
排列顺序选树支后连支，则：
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
9.2.3 割集矩阵Q
割集是支路的集合，移走割集中的所有支路，将使图分成两个部分，从其中一
部分指向另一部分的方向即为割集的方向，每个割集只有两个可能的方向，任
意假定一个方向为割集的方向，即为该割集的正方向。

割集矩阵是描述割集与支路的关联矩阵，A矩阵是Q的特例。

独立割集与树支数一样，即n-1。

Q是(n-1)xb阶矩阵，其元素：
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
单树支割集（基本割集）
通常可以用闭合曲线割这个图，与曲线相交的支路即为
一个割集。

一个图有很多割集，但独立的割集只有n-1
个，如何获取独立割集呢？
一般选单树支割集为独立割集。

割集中只一条支路是树
支，其它支路均为连的割集称为单树支割集，或称为基
本割集。

图示电路，选1、2、3为树支，并以树支方向作为割集
方向，并选树支后连支排列，则Q矩阵：
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
9.2.4 矩阵形式的KCL和KVL方程
如图所示，以4号结点作为参考结点，KCL方程为：
写成矩阵形式：
即：——A矩阵表示的KCL方程。

9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL
和KVL方程的矩阵形式
9.2.4 矩阵形式的KCL和KVL方程
同样，以4号结点作为参考结点，以结点电压表示支路电压：
写成矩阵形式：
即：——A矩阵表示的KVL方程。

9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
9.2.4 矩阵形式的KCL和KVL方程
如图所示，以1、2、3为
树支，以基本回路列KVL：
写成矩阵形式：
即：——B矩阵表示的KVL方程。

9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
9.2.4 矩阵形式的KCL和KVL方程
同样，以1、2、3为树支，以基本回路回路电流来表示
支路电流：
写成矩阵形式：
即：——B矩阵表示的KCL方程。

9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
9.2.4 矩阵形式的KCL和KVL方程
如图所示，以1、2、3为
树支，对基本割集列KCL：
写成矩阵形式：
即：——Q矩阵表示的KCL方程。