第十章 网络图论及网络方程
网络分析主要问题： 1）选择独立变量 ——拓扑学理论 2）列写网络方程 ——矩阵代数方程 3）网络方程求解 ——计算机应用
1
10-1 基本定义和概念
一、网络拓扑图
1、支路(Branch)： 每个元件代表一条 支路，用线段表示。 2、节点(Node)： 每一条支路的端点。 3、图（Graph)： 支路与节点的集合。
一、标准支路伏安关系
Uk Zk I k Zk I sk U sk
或




I k Yk U k Yk U sk I sk




二、矩阵形式支路伏安关系:
U b Z b Ib Z b Is Us
其中：Z





或
Ib Yb U b Yb U s Is
2、基本割集关联矩阵Cf
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1 0 0 1 1 0 对于一个有向图， [ A] 0 1 1 1 0 0 选一棵树，支路编号 先树支后连支。则有： 0 0 1 0 1 1
A At Al
四、A、Bf、Cf关系
B Bt
Bt
Bl
1
3
2、回路（Loop) 回路是连通图G的一个子图， 满足： 1）连通图 2）每个节点仅关联两条支路 3）移去任一支路，则无闭合 路径 基本回路：单连支回路，连支方向为回路方向。 3、割集（Cut) 割集是连通图G的一些支路的集合，满足： 1）移去该支路集合，则图恰好分成两部分； 2）少移一条支路，则图连通。 基本割集：单树支割集，树支方向为割集方向。
0 -1 1 -1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0
0 0 0 1
0
0 0
0 -1 0 0
-1
0 1 0 0 0 0
0
Bt 1 0 [ C ] 1 C f l 0 T Cl Bt 1
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10-3 节点法
(nxn) (nx1) (nx1)
[ A] 1 0 1 0 0 0 I0 n A I s AYb U s 1 0 1 1
1
T1 0 0 1 0A 1 Y （节点导纳矩阵） 其中： AY n b
4 = -i3u+ i5 u +n1 i6 = 0 u5 = un3 （节点电流源列向量） u6 = un3 – un1
C Ct Cl 1 Cl
1 [ B f ] 1 0 1 [C f ] 0 0
0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1
2、基本回路关联矩阵Bf
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三、割集关联矩阵C
1、割集关联矩阵C 行：代表割集序号
列：代表支路序号
矩阵元素取值:
1 cij 1 0
——同向关联：支路j与割集i关联,支路j方向 与割集i方向一致。 ——反向关联：支路j与割集i关联,支路j方向 与割集i方向相反。 ——无关联：支路j与割集i没有关联。
Yb : 支路导纳矩阵




b
: 支路阻抗矩阵

Ib 、 U b 分别为支路电流、电压列向量 Is 、 U s 分别为支路电流源、电压源列向量
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三、支路电压与节点电压关系:
U b A T U n（矩阵形式的KVL）
(bx1) (bxn) (nx1)


四、支路电流关系：
A Ib 0
习题： Bf、 0 0求0 1C -1 f 0 110-7
-1
0 0 -1 1 0 0 1 -1 0 0 0 1 -1
1
0
1 2 3 5 9 4 6 7 8 10 11
1 –1 0 1 0 1 [B f ] -1 0 0 1 0 -1
–1 0 0 1 0 0 0
故有：
Cl Bt
或
T
T T
Bt Cl
1
Bt At Al
Cl Bt
At
T
1
Al
8
1
0
0
0
0 -1 0 0
0 0 1 0 0 1 0 -1 [C f ] 树支： 、2 、3 、0 5、 9 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
连 通 图 非连通图 平 面 图 非平面图 有 向 图
无 向 图
子 母 图 图 孤立节点 自 环
2
4、标准支路
Ik

+
二、树、回路、割集
Uk

-
1、树（Tree): 连通图G的一个子图，满足： 1）连通图 2）含有G全部节点 3）无回路 树支：构成树的所有支路 树支数 n-1 n:节点数 连支：不属于树的支路（树余） 连支数 b-(n-1) b:支路数
4
②
10-2 关联矩阵
1 0 0 1 0 一、节点关联矩阵 1 1 1 0 A 0 [ Aa ] 1、增广关联矩阵Aa 0 0 1 0 1 行：代表节点序号 0 1 0 1 1 列：代表支路序号
1 0 1 向关联：支路j与节点i关联,支路j方向 1 离开节点i。 ——反向关联：支路j与节点i关联,支路j方向 aij 1 指向节点i。 0 ——无关联：支路j与节点i没有关联。
(nxb) (bx1)


（矩阵形式的KCL）

五、 节点电压方程 (Ib Yb U b Yb U s Is )
u1 = un2 – un1
2 = -i1u+ i4 u –n2 i6 = 0 un2 un3 3 = iu+ i+ i –= 0 1 2 3
Yn U n In
2、降阶关联矩阵A
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二、回路关联矩阵B
1、回路关联矩阵B 行：代表回路序号 列：代表支路序号 1 2
矩阵元素取值:
3
1 ——同向关联：支路j与回路i关联,支路j方向 与回路i方向一致。 bij 1 ——反向关联：支路j与回路i关联,支路j方向 0 与回路i方向相反。 ——无关联：支路j与回路i没有关联。