假设 01,02 是线性空间V中的两个零元素，
则对任何 V ，有 01 , 02 .
由于 01,02 V , 所以 02 01 02 ,01 02 01.
01 01 02 02 01 02.
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2．负元素是唯一的．
实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
例1 实数域上的全体 m n 矩阵，对矩阵的加法
和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 Rmn．
Amn Bmn Cmn , Amn Dmn ,
Rmn是一个线性空间.
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例2 数域F上次数小于n的多项式的全体，记作： F[ x]n {an1 xn1 an2 xn2 L a1 x a0 ai F } 可以验证：F[ x]构成数域F上的线性空间 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运
Q F.
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三,线性空间的定义和举例
定义1 设V是一个非空集合，F 为一数域．在V上定
义运算如下：
ⅰ)对任意两个元素 x, y V ，总有唯一的一个元素 z
与之对应，称为 x 与 y 的和，记作 z x y
若对于任一数 F 与任一元素 x V ，总有唯
c d 2 (c d 2)(a b 2) பைடு நூலகம் b 2 (a b 2)(a b 2)
ac a2
2bd 2b2
ad bc a2 2b2
2 Q.
Q( 2)为数域． Gauss数域
类似可证 Q(i) a bi a,b Q, i 1 是数域.
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a
b
c
0,
a,
b,
c
R.
解 (1)不构成子空间. 因为对
A B 1 0
0 0
0 0
W1
有
2 0 0
A B 0
0
0
W1
,
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即W1 对矩阵加法不封闭，不构成子空间.
( 2) 因
0 0
0 0
0 0 W2 ,
即W2非空.
对任意
A a1 0
线性空间引论
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
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例7. 对于任意一个有限维线性空间 V, 它必有两个
平凡子空间，即由单个零向量构成的子空间 0 以及线性空间 V 本身。
例8 .设 A Rmn ,那么线性方程组 AX O的全部 解为线性空间 Rn的一个子空间，我们称其为齐次 线性方程组的解空间。
A BW2, 对任意k R有
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1
且 ka1 kb1 kc1 0,
即 kAW2 , 故W2是R23的子空间.
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张成子空间的定义:
设x1, x2 , , xm 是线性空间V (F )中的向量，
则由 x1, x2 , , xm的所有线性组合：
证明 假设 有两个负元素 与 ，那么
0, 0.
则有 0
0 .
向量 的负元素记为 .
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3. 0 0; 1 ; 0 0. 证明 0 1 0 1 0 1 ,
0 0.
1 1 1 1 1 0 0,
验证 R 对上述加法与乘数运算构成线性空间．
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证明: a, b R , a b ab R;
R, a R , a a R .
所以对定义的加法与乘数运算封闭．
下面一一验证八条线性运算规律：
(1) a b ab ba b a;
(2)(a b) c (ab) c (ab)c a (b c);
思考题
实数域R上的n元非齐次线性方程组AX B 的所有解向量, 对于通常的向量加法和数量乘法, 是否构成R上的一个线性空间?为什么?
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思考题解答
不能构成R上的一个线性空间.
事
实上,
设X
1
,
X
都
2
是n元
非
齐
次
线
性
方
程
组
AX B的解向量,则
AX1 B,
x y (a c) (b d ) 2 Q( 2), x y (ac 2bd ) (ad bc) 2 Q( 2) 设 a b 2 0, 于是 a b 2 也不为0．
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（否则，若 a b 2 0, 则 a b 2, 于是有 a 2 Q, b 或 a 0,b 0 a b 2 0. 矛盾）
1 .
0 1 0
0.
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4．如果 0，则 0 或 0 .
证明 假设 0,
那么
1
1
0
0.
又 1 1 .
0.
同理可证：若 0 则有 0.
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(3) R中存在零元素1, 对任何a R , 有
a 1 a 1 a;
(4) a R , 有 负 元 素a1 R , 使
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a a1 a a1 1;
(5) 1a a1 a;
(6) a a a a a;
(7) oa a aa a a
(3) 在V中存在零元素0, 对任何x V ,
都有x 0 x ; (4)对任何x V , 都有x的负元素y V ,
使x y 0 ;
(5) 1x x ; (6) x x ;
(7) x x x ; (8)x y x y .
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一般线性空间的判定方法 （1）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的
Sx 是一个线性空间.
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(2) 一个集合，如果定义的加法和乘数运算不 是通 常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八 条线性运算规律．
例5. 正实数的全体，记作 R ，在其中定义加法
及乘数运算为
a b ab, a a , R,a,b R .
练习：
证明：数域F 上的线性空间V若含有一个非零 向量，则V一定含有无穷多个向量
证：设 V , 且 0
k1, k2 P, k1 k2, 有 k1 , k2 V
又 k1－k2 (k1 k2 ) 0 k1 k2 .
而数域F中有无限多个不同的数，所以V中有无限 多个不同的向量. 注：只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.
m
ki xi
| ki K,i
1,2L
m
i1
构成的集合是V (F )的子空间，称为由 x1, x2 , , xm
张成（生成）的子空间，记为：
L( x1, x2 , , xm )或：span[x1, x2 , xm ]
零向量集合与 V 本身称为平凡子空间， 非平凡 子空间称为 V 的真子空间
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对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法
( x1, , xn )T 0, ,0不构成线性空间．
解答: S n对运算封闭.
但1x O, 不满足第五条运算规律.
由于所定义的运算不是线性运算,所以S n不是 线性空间.
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二,线性空间的性质
1．零元素是唯一的． 证明:
坐标变换. 难点: 基变换与坐标变换
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说明：
1）若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F 中，则说数集F对这个运算是封闭的．
2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数 集F 对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集 F为一个数域．
当齐次线性方程组 AX O 有无穷多解时，其解空 间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解 系所含向量的个数。
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例9 R23的下列子集是否构成子空间?为什么?
1 b 0
(1) W1
0
c
d
b,
c,
d
R;
(2) W2
a 0
b 0
0 c
第一章
线性空间与线性映射
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教学内容和基本要求
1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式； 2, 掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质； 3, 理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵示表示,
了解线性空间同构的含义. 重点: 线性空间的概念；子空间的维数定理；基变换与
二、数域的性质定理
任意数域F都包括有理数域Q． 即:有理数域为最小数域．
证明： 设F为任意一个数域．由定义可知，
0 F， 1 F . 于是有 m Z , m 1 1 L 1 F
进而有 m,n Z , m F , m 0 m F .
n
n
n