• 案例11，在教学“直线与方程”这节课 时，分别向学生提出以下问题：（1)集 合 • 表示什么？（从数形两个方 面去理解）(2）集合 是否表 示一、三象限角平分线上点的集合？集 合 呢？（感悟直线方程 定义中的纯粹性与完备性两者缺一不可） （3）集合A、B分别表示什么意义？随 着这几个具体问题的思考、讨论、比较 和总结，学生的思维逐步逼近直线与方 程概念的本质特征。
（2）问题引入的基本方法与途径
• 1．列举生活实例，提供生活原型。 • 中学数学知识来源于现实世界，对这些知 识，要由学生所熟悉的日常生活或生产实 际中常见的事例引入。 • 案例4.：提供日常生活中各种对应关系， 引入“映射”的概念；列举蝴蝶、人脸、 花朵，镜面反射，提供对称图形的原型。 这种方式有助于将各种现实材料和数学知 识溶为一体，实现“概念性的数学化”。
案例16.“函数”概念教学
• 从一个有趣的“绕圈子”问题谈起（投影显示）： 在世界著名水都威尼斯，有一个马尔克广场，广 场的一端有一座宽 82米的雄伟教堂，教堂的前 面是一方开阔地，这片开阔地经常吸引着四方游 人到这里来做一种奇特的游戏，先把眼睛蒙上， 然后从广场的一端走向另一端去看谁能到教堂的 正前面，你猜怎么着？尽管这段距离只有175米， 竟没有一名游客能幸运地做到这一点，他们都走 了弧线或左右偏斜到了另一边。
• 了
• （米）。
• 球着地多少次后，球才会停止呢？学生 的探究受到了挫折，但大家又能猜出小 球停止时，共经过了30米。通过多媒体 的动画设计，学生能更生动真切地感悟 到有限与无限、精确与误差、运动与静 止的极限过程，从而对无穷等比数列各 项和有了深刻的领悟。
1．5明确性
• 设计的问题要小而具体，避免空洞抽象。 可把有一定难度的问题分解成几个有内 在联系的小问题，步步深人，使学生加 深对知识的理解。
• 第三，注意教学过程中进行学法指导。
• 第四，要充分发挥教师主导作用，激发 学生的学习兴趣，善于启发诱导学生， 要认真体现学生的主体地位，让学生有 更多的机会、有效地参与教学活动。
• 第五，要灵活恰当地选择运用教法，有 效地运用教具和演示实验，恰到好处地 采用现代化教学手段。
• 第三，注意教学过程中进行学法指导。
1．4挑战性。
• 提出的问题难度要适中。问题太易，学 生会产生厌倦和轻视心理；太难，学生 会望而生畏。即教师提出的问题应接近 学生的“最近发展区”，使学生能够 “跳一跳，摘果子”。
• 案例10，在教学“无穷等比数列各项和” 时，把教材上等比数列的一道习题作改 造，让学生解答：一个球从10米高处自 由落下，每次着地后又跳回到原来高度 的一半再落下。到它停止时，共经过了 多少米？当学生求得n次着地时，共经过
• 4．类比、对比式 • 当新知识与已有知识具有某种相似性或联系时， 可通过类比或对比的方式引入课题。 • 案例3.如在掌握等差数列有关知识的基础上可 以很方便地引出等比数列的相应内容。 • 5．归纳式 • 归纳式，是通过列举一些实例让学生观察、思 考，从中捕捉共性，从而形成概念，发现性质、 定理、公式的一种引入课题的方法。 • 6．发现式 • 通过引导学生观察、操作、探究、发现数学知 识和规律引入课题的方式。
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• 第八，要使用广泛的教学语言，要使用普通 话和学科术语，严禁使用方言土语和非教学 语言。讲授语言要准确、清晰、通俗、生动， 具有条理性、启发性。
• 第九，要保证教学时间，按时上下课， 不迟到、不拖堂、不善离课堂，不做与 教学无关的事。未经学校同意，不得随 意增减课时，不得随意停课或串课。
• 第十，要衣着整齐，仪表端庄，举止大 方，教态亲切自然。 • 第十一，要讲求效果。做到精讲多练， 短时高效，提高课堂教学效率，减轻学 生的课后作业负担。
案例15. “等比数列前n项和”公式教学
• 可设计这样一个趣味问题 • 从前有这么一个故事：有人卖了一匹马得300元 钱，但是买主买了以后又翻悔了，退还给卖主说： “这价钱买你这匹马不合算。这马根本不值这么多 钱。”于是卖主提出新的条件：“如果你嫌这马价 钱贵，那你就只买它的马蹄铁上的钉子好了，马可 以白送。每一个马蹄铁上有6个钉子。第一个钉子 只要给我1分钱，第二个钉子2分钱，第三个钉子4 分钱，这样类推下去。” • 买主被这廉价打动了，心想白得一匹马，就接受 了卖主的条件，心里估计着钉子总共花不了10 元 钱。
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• 2．练习式 • 案例2.如：直线的两点式方程 • 安排一组习题让学生练习，通过对练习 题或解答结果的讨论引申、推广引入课 题。 • 3．设疑式 • 提出问题，让学生思考，使之百思不得 其解之后而产生迫切了解结果的强烈欲 望，在此基础上引入。
• 4．类比、对比式 • 当新知识与已有知识具有某种相似性或联系时， 可通过类比或对比的方式引入课题。 • 案例3.如在掌握等差数列有关知识的基础上可以 很方便地引出等比数列的相应内容。 • 5．归纳式 • 归纳式，是通过列举一些实例让学生观察、思考， 从中捕捉共性，从而形成概念，发现性质、定理、 公式的一种引入课题的方法。 • 6．发现式 • 通过引导学生观察、操作、探究、发现数学知识 和规律引入课题的方式。
• 案例13、打折问题 在“均值不等式”一节的教学中，有如 下一个“问题情境”： 有甲、乙两个超市同时进行降价活动， 分别采用两种降价方案：甲超市第一次打 m折销售，第二次打n折销售；乙超市两次 都打(m+n)/2折销售。请问：哪个超市的 价格更优惠？ 。
b、生动的故事：
• 学生喜欢听故事，生动有趣的故事，能 激发学生的学习兴趣
• 案例14.在讲黄金分割时先向学生介绍实 际知识，科学家发现当外界环境温度为 人体温度的0.618倍时，人的感觉得舒适； 意大利著名画家达.芬奇创作了许多稀世 珍宝，他称他的作品在涉及比例关系时， 经常用到0.618（如人体身高与肚脐以下 的长度比），正是他把0.618誉为“黄金 分割”。德国天文学家数学家凯普勒把 黄金分割视为几何学中的宝藏之一，那 么到底什么是黄金分割呢？这就激发了 学生的学习兴趣。
1.6趣味性
• 新颖、奇特而有趣的问题容易吸引学生 的注意，调动学生的情绪，学生学起来 兴趣盎然。
怎样创设有趣的问题情境： a、联系生活实际
• 联系学生的生活实际，创设问题情境， 学生可以利用自己的生活经验，进行自 主探索。
• 案例12.“球面距离”概念教学 • 就球面距离定义的合理性来说，其存在性和唯 一性是显而易见的，但关键是最小性的讨论， 即球面上任意两点，经过它们怎样的一段弧最 短呢？为什么是一段大圆弧呢？笔者在教学中 发现不少学生有疑问的。为此在教学中引用生 活中的实例导入球面距离这一概念，挂出一幅 世界地图，并介绍这样一个事例：1993年4月， 上海东方航空的一架班机在从上海飞往洛杉矶 的途中遇强气流，使飞机上下颠簸造成部分乘 客受伤，飞机被迫在阿拉斯加紧急降落。请一 位同学到黑板前将飞机的飞行路线以及阿拉斯 加的位置在黑板上画出来,并请同学们观察一 下飞行的路线。
1．3启发性
• 案例9，高中教材不等式证明的例题时， 由于是阴雨天，教室内的光线较暗，于 是笔者用以下问题作引入：大家知道， 建筑学上规定：民用建筑的采光度等于 窗户面积与房间地面的面积之比，但窗 户面积必须小于地面面积，采光度越大 说明采光条件越好。试问增加同样的窗 户面积与地面面积后，采光条件是变好 了还是变坏了？为什么
（二）新课引入需要问题情境 的创设，让学生亲近数学
• 1 创设问题情境应遵循的原则 • 1.1“问题”的有效性： • （1）有效果；（2）有效率；（3）有效 益。
• 案例7：在比的意义这一课的导入中，有些 教师应用足球比赛进行新课的导入，有些教 师应用讲故事的行式进行新课的导入，这样 的导入当授课者真正提出这一节课来学习比， 恐怕学生还沉入热烈的足球比赛中，有趣的 故事中。如果授课者没有很好的教学功底很 难将学生的注意力引到课堂教学中来。其实 我们大可不必这么大费周折，而舍近求远。 你们认识比吗，你能写出一组比吗？看到比 你想到了什么？这难道不是一种既提出数学 问题同时高效的导入方法吗？
二．怎样做一名受学生欢 迎的老师
• • • • • A、平等、尊重、热爱学生。 B、在学习上带给学生安全感的教师 （一）认真备课，常备常新。 （二）善于反思，勤于积累。 （三）研究教材，超越教材。
• • • • •
（四）研究教法，超越教法 （五）研究高考，超越高考 C、养成高效率、细致认真的工作作风。 D、人贵有自知之明，不断进取 E、塑造教师个人人格魅力
• 学生很快进入了探索状态，并找到了问 题所隐含的数学模型：若窗户面积为a， 地面面积为b，则a＜b，设共同增加的 面积为m，问题即转化为比较 与 的大小问题。由于有了实际问题背景， 同学们的探究热情异常高涨，比较法、 分析法、综合法、构造函数法、定比分 点法，数形结合法等十几种方法竟相出 现。在解题回顾中，师生还共同对问题 进行了引申、推广及相应证明，从而增 强了学生探究的信息和勇气，领略了成 功的喜悦和创造的快乐。
（二）注重引入
• • • • （1）问题引入的基本形式 1．复习提问式 案例1.如幂函数的引入 3 (1)请同学们思考，由算式8＝ 2 式。
8＝23
可写成几种形
3＝log28
2＝
8
1 3
• (2)一般地，在等式N＝ a 中，如果固定a， x • N随b的变化而变化，则建立了指数函数y= a ； 如果固定a，b随着N的变化而变化，则建立对数 函数y=logaX；请同学们思考，如果固定b,N随a 的变化而变化，那么建立了什么函数呢？
2．在已有概念的基础上引入问题
• 。 • 案例5：在数列的基础上引入等差数列。 • 这种当新概念是已知旧概念的一种概念时， 常给出一组反映已知概念的事例，让学生观察、 对比、辨析、发现这部分事例所具有的与其他 事例不同的共性，从而引入新概念。
• 3.另一种引入方法是在概括程度较高的 旧概念基础上，加入新的属性，通过逻 辑推演，直接引入新概念。 • 4.如果在相对具体的概念基础上形成较 高层次的概念，那么常见的方式是提供 一些具体的、特殊的、直观的观察材料， 让学生分析其共性，抽象概括出新的概 念。 • 案例6，通过观察一些函数的图象特征， 从而形成单调递增函数的概念。