高等数学作业AⅠ吉林大学数学中心2017年8月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．下列结论正确的是( A )．（A ）x arctan 是单调增加的奇函数且定义域是），（∞+∞- ； （B ）x arc cot 是单调减少的奇函数且定义域是），（π0； （C ）x arctan 是无界函数；（D ）4-22arccosπ=． 2．下列函数中不是奇函数的为( B )．（A ）xx x x ee e e --+-；（B ）x x cos 3+；（C ）)1ln(2x x ++；（D ）x arcsin ． 3．函数x x y 3cos 2sin +=的周期为( C )． （A ）π；（B ）π32；（C ）π2； （D ）π6．4．. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n =（ C ）（A ）0； （B ）1； （C ）0. 5； （D ）2．5.已知数列{}n x 是单调增加的.则“数列{}n x 收敛”是“数列{}n x 有上界”的（ A ）条件（A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 6．设数列{}n a （ ,2,1,0=>n a n ）满足,0lim 1=+∞→nn n a a 则( D )．（A ）{}n a 的敛散性不定；（B ）0lim ≠=∞→c a n n ；（C ）n n a ∞→lim 不存在； （D ）0lim =∞→n n a ． 二、填空题1．=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-∞→n n n n n 22241241141lim 0. 5 ． 2．设⎩⎨⎧<+≥+=,0,2,0,12)(2x x x x x f 42)(-=x x g . 则)]([x g f = ⎩⎨⎧<+-≥-2,181642,742x x x x x ．3．函数1)(+=x x e e x f 的反函数)(1x f -= )1,0(,1ln ∈-x x x．4．“数列{}n x 2及数列{}12+n x 同时收敛”是“数列{}n x 收敛” 必要 条件. 5.=++--+++∞→])2()11(1sin[lim 1n n nn n n n n n 22e + ． 三、计算题1．设633134)11(xx x f ++=+，求)(x f ． 解：令311x t +=，则311-=t x 代入已知的式子中得，2)1)1(34)(-+-+=t t f t即有22)(t t f ++=t2．求nn n x 13)|1(lim |+∞→，解：(1)当1||>x 时 由于31133||2)||1(||x x x nnn <+<以及 331||||2lim x x nn =∞→所以有313||)|1(lim x x nnn =+∞→|（2）当1||≤x 时由于nn n x 1132)||1(1≤+<以及12lim1=∞→nn ，所以有1)|1(lim 13=+∞→nn n x |3．设函数()f x 满足关系式22()(1)f x f x x +-=，求()f x 的表达式．解：∵22(1)()(1)f x f x x -+=-22()(1)f x f x x +-=解得 ; 221()3x x f x +-=四、证明题 设 ,2,1,11,111=++==+n x x x x n nn ，证明n x x ∞→lim 存在，并求其值．证：先证明数列{}n x 单调递增：12x x <显然成立．假设1k kx x -<成立，则有0)1)(1(1111111>++-=+-+=-----+k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x即1k k x x +<成立．由数学归纳法知，对任何正整数n ，均有1n n x x +<成立．从而数列{}n x 单增．再次，显然有2<n x 成立，即数列{}n x 上有界．根据单调有界原理便知数列{}n x 收敛．令lim n n x l →∞=，将111++=+n nn x x x 两边取极限得12+=l l ，考虑到l >0解得251+=l .因此．251lim +∞→n n x第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．已知1)1)(lim21-=-→x x f x （，则下列结论正确的是( D )． （A ）0)1(=f ；（B ）0)(lim 1<→x f x ；（C ）存在0>δ，当δ<-1x 时，0)(<x f ；（D ）存在0>δ，当δ<-<10x 时，0)(<x f ．2．已知0)(lim ≠=→A x f ax 存在，则下列结论不正确的是 ( C )．（A ）若)(lim x g ax →不存在，且∞≠→)(lim x g ax .则)()(lim x g x f ax →不存在，且∞≠→)()(lim x g x f ax ；（B ）若∞=→)(lim x g ax ，则∞=→)()(lim x g x f ax ；（C ）若)(lim x g ax →不存在，则)()(lim x g x f ax →可能存在也可能不存在；（D ）．B x g ax =→)(lim ,则)()(lim x g x f ax →=AB.3．“)0(0-x f 与)0(0+x f 存在”是“)(lim 0x f x x →存在”的( B )条件．（A ）充分； （B ）必要； （C ）充分且必要； （D ）非充分且非必要．4．当+∞→x 时，x e y xsin =是( B )．（A ）无穷大； （B ）无界函数但不是无穷大； （C ）有界函数但不是无穷小； （D ）无穷小． 5．（A ）当0→x 时，x x +是8x 的2阶无穷小；（B ）当0→x 时，8x 是x x +的2阶无穷小；（C ）当0→x 时，x x +是8x 的4阶无穷小；（D ）当0→x 时，8x 是x x +的4阶无穷小．上面结论正确的是 ( A )．6．0=x 是函数( D )的可去间断点． （A ）x x x f 1arctan )(2+=; （B ）xx f 1sin )(=； （C ）xx x f 2cos 1)(-=；（D ）xx x f 1sin)(3=． 7．0=x 是( D )函数的跳跃间断点．（A ）xx x f 1)1)(+=（; （B ）2sin )(xxx f =； （C ）xx f 1cos)(=； （D ）xxx xee e e xf 1111)(--+-=．二、填空题 1．设)(lim 1x f x →存在，且)(lim 2)(1`2x f x x x f x →+=则)(x f =x x 2`2- ．2．已知xt x xt xtx f sin sin )sin sin (lim )(-→=，则)(x f =xx esin3．+∞→x lim )2(22x x x x +-+= 21 . ． 4．已知当0→x 时,)(x f 与32x 是等价无穷小量,则=--+→11sin )(1lim2x x e x x f 1 ．5．已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+>+=0,0,)21ln(1)(2tan x x a x xe xf x- 在0=x 点连续，则a = -2 ．6．函数xx x x x x f sin )1()23(||)(22-++=的无穷间断点是1,(1,2,)x k k π==±± ．三、计算与解答题1．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<-=0)21ln()arctan(0sin tan )(3x x ax x x xx x f ，，，已知)(lim 0x f x →存在，求常数a ．解22lim )21ln()arctan(lim )(lim 000ax ax x ax x f x x x ==+=+++→→→ 21)cos 1(lim sin tan lim )(lim 30300=-=-=--→→→xx x x x x x f x x x tan - 因此)(lim 0x f x →存在的充要条件是1=a2．求]1[lim 0x x x →．其中]1[x 是不超过x1的最大整数。

证明 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧x x x 111，则有110≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤x 于是有 1)1(lim 1)1(lim 00=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→→x x x x x x3. 求x x x x b a 10)2(lim +→，（a ，b 为不等于1的正数.）设xx x b a y 1)2(+=，则 2)ln()2121(lim )21211ln(lim ln lim 000ab x b x a x b a y x x x x x x x =-+-=-+-+=→→→于是有ab y x =→0lim四、证明题1．设)(x f 在[a ,b ]上连续，)(21b x x a <<<，证明对任意的两个正数t 1 ，t 2都存在),b a （∈ξ使 )()()()(212211ξf t t x f t x f t +=+证：()f x 在开区间(,)a b 内连续，12a x x b <<<，()f x 在开区间[]12,x x 内连续，则()f x 在开区间[]12,x x 存在最大值M 最小值m ， 11221212()(),(0,0)t f x t f x m M t t t t +≤≤>>+，由介值定理得证2．设)(x f 在1,0[上非负连续，且0)1()0(==f f ，证明方程对任意实数a （0<a <1）必有)1,0[∈ξ．使)()(ξξf a f =+设)()()(x f a x f x F -+= （1）若0)(=a f ，取0=ξ即可 （2）若0)1(=-a f ，取a -=1ξ即可（3）若0)1(,0)(≠-≠a f a f .将)(x F 在]1,0[a -用零点定理即可.第三次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．)(x f 在a x =处左，右导数)(),(a f a f +-''都存在，是)(x f 在a x =处连续的( C )条件．（A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 2．设)(ln x f y =， )(u f 是可导函数，则=dy ( D )． （A ）dx x f )(ln '； （B ）xdx x f ln )(ln '；（C ）dx x x f ln 1)(ln '； （D ）x d x f ln )](ln '． 3．设x y 2sin =，则=+)1(n y( B )． （A ）)22sin(πn x +； （B ）)22sin(2πn x n+；（C ）)22sin(21πn x n ++； （D ）)2sin(2πn x n+． 4．设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,00,1sin )(x x xx x f α则0>α是)(x f 在0=x 处连续的( A )条件． （A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 5．()()()f x x a x ϕ=-，且lim ()0,()1x ax a ϕϕ→==，则()f a '= ( A )．（A ）0； （B ）a ； （C ）1； （D ）不存在．6．hh x f h x f h )()(lim000--+→存在是)(x f 在0x 点可导的（ B ）条件.（A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 二、填空题1．设曲线)(x y y =由⎩⎨⎧+==+tt y x t xe t 2cos sin cos π确定，则)(x y y =在(0,1) 处的切线方程为 x e y π+=1 ．2．设)()2)(1()(n x x x x x f +++= ,则=')0(f n!; )0()(n f=2)1(+n n ． 3．设|1|ln x x y -=，则=)0()(n y -n (n -2)! ．4．已知)(x f 连续，且1)(lim 0=→xx f x 则=)0(f 0 ，=')0(f 1 ．5．已知)(x f 在1=x 处具有连续的导数，且1)1(='f ，求)2(cos 1lim 20x f xx x d d→=-8 ．6．设函数()y f x =在点0x 可导，且则0()0f x '≠，则0d lim x y yx∆→∆-=∆ 0 ．7．设12log+=x e xy ，则='y )1(2)1ln(1222x x x +++-．三、计算题1．设)(22)]1(sin [x f e xf y +=，其中f (x )可微. 求y '．解)(21cos )1(sin )1(sin 22)(22x f xe x x f x f xy x f '+'-=' 2．设x a x x y arctan 22)(++=，求dy ．解)ln(arctan ln 22a x x x y ++=则)1(1arctan )ln(112222222ax xa x x x a x x x y y ++++++++=')1arctan )ln(11()(22222arctan 22a x x a x x x a x x y x +++++++='dx ax x a x x x a x x dy x )1arctan )ln(11()(22222arctan 22+++++++=3．设1sec 221+=x y xx e ，求y '．解 )1ln(sec 41212ln ln 2+++=x x y x，则 ）（1sec 2tan sec 212ln 222++-='x xx x y y 于是1sec 221+='x y xxe)1sec 2tan sec 212(ln 222）（++-x xx x4．设⎩⎨⎧-'='=)()()(t f t f t y t f x ，其中)(t f 三阶可导且0)(≠''t f 求33x yd d ．解t t x t y dx dy =''=)()( )(1)(1)()(22t f t x dx dy dt d dx dy dx d dxy d ''='== 3222233)]([)()(1)()(t f t f t x dx y d dt d dx y d dx d dx y d '''''-='== 5．设()y f x =由方程e 1yy x -=所确定，求22d d x yx=．解; 0,1x y ==0y y y e xe y ''--= 0x y e ='=2()0y y y y y e y e y xe y xe y '''''''----= 202x y e =''=6.设⎩⎨⎧≥-+<+=0,)1(2arctan 90,2sin )(3x x b x x ae x x f x 试确定常数b a ,的值，使得函数f (x )在x =0点可导，并求)0(f '．解 由可导必连续知)(lim )0(0x f f x -→=，于是有b a -=ax aae x x b ae x x f x f f x x x x x 21022sin lim 022sin lim 0)0()(lim )0(000+=--+=-++=--='---→→→-b x bx b x x f x f f x x 6902)1(2arctan 9lim 0)0()(lim )0(300+=-+-+=--='++→→+由f (x )在x =0点可导可得b a 6921+=+ 经求解得1,1-==b a第四次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．( A )不满足罗尔定理的条件，但存在）（1,1-∈ξ使0)(='ξf ． （A ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-=10)21(0141)(2x x x x f ，，在[-1,1]上；（B ）⎩⎨⎧=-<≤-=1111)(x x x x f ，，在[-1,1]上；（C ） ||)(x x f =在[-1,1]上；（D ） 2x y =在[-1,1]上．2．已知)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则在(a ,b )内( A )．（A ）曲线)(x f y =必有切线平行于x ab a f b f y --=)()(；（B ）曲线)(x f y =只有一条切线平行于x ab a f b f y --=)()(；（C ）曲线)(x f y =必有切线平行于x 轴； （D ）曲线)(x f y =未必有切线．4．=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x ( C )．（A ）∞； （B ）0； （C ）21； （D ）21-．5．下列各极限都存在，能用洛必达法则求的是( C )．（A ）xx x x sin 1sinlim20→；（B ）xx xx x sin cos lim+++∞→；（C ）xx x arccot 2arctan lim π-+∞→；（D ）x x xx x --+∞→+-e e e e lim ．6．已知当0→x 时,)sin()(ax x x f -=与)1ln()(2bx x x g -=是等价无穷小量，则（ B ）（A ）61,1==b a ；（B ）61,1-==b a ； （C ）61,1-=-=b a ； （D ）61,1=-=b a ．二、填空题1．设)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则方程0)(='x f 的实根个数为 3个，它们分别在区间 （0，1），（1，2），（2，3） ．2．()x x x 11lim ++∞→= 1 ．3．已知当0→x 时,b ax e x---与221x 是等价无穷小量，则=a -1 ，=b1 ．4．函数x x f ln )(=在x=1点的二阶泰勒公式为（拉格朗日型余项）332)1()]1(1[312)1(1)(--++---=x x x x x f θ ，)10(<<θ ． 5．2()ln(1)f x x x =+，则()(0)n f = 1(1)!2n n n --- (2)n >．三、计算题1．利用泰勒公式求极限21)1ln(cos 1sin limx x x x x e-++-+→ ．)(sin x o x x +=； )(!2cos 132x o x x --=- )()1ln(x o x x +=+；)(1222x o x ex ++=代入的=-++-+→21)1ln(cos 1sin limx x x x x e12．求)]11ln([lim 2xx x x -+∞→． 解由泰勒公式有)]11ln([lim 2x x x x -+∞→=)]1(211([lim 222xo x x x x x +--+∞→ =21-3．求11lim ()()()()x af x f a x a f a →⎡⎤-⎢⎥'--⎣⎦．其中()f x 在x a =的某邻域内有连续的二阶导数，且()0f a '≠．解：原式=()()()()lim(()())()()x a x a f a f x f a f x f a x a f a →'--+'--=1()()lim()()()()()x a f a f x f a f x f a x a f x →''-''-+- =[]2()()1()lim ()()()2()()x a f a f x f a x a f x f a f a f a f x x a→''-''-=--'''+- 4．设()f x 在0x =的某邻域具有三阶导数，且13()lim e 1xx f x x x →⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，求(0),(0),(0)f f f '''．解：由已知有0()lim0,x f x x→=得(0)0,(0)0,f f '==由0()lim3,x f x x x x→+= 得(0)4f ''= 四、证明题 1．已知201π<<x ，n n x x sin 1=+ .（1） 证明数列{}n x 收敛，并求其极限值． （2） 求211)(lim n x nn n x x +∞→．证明： 由n n n x x x ≤=+sin 1，及10≤≤n x 知数列{}n x 收敛． 将n n x x sin 1=+两边取极限得l l sin =解得l =0设21)sin ()(x xx x f = =+→)(ln lim 0x f x 20sin lnlim x x x x +→ =20)1sin 1ln(lim x xx x -++→ =30sin lim x x x x -+→ =61-故有211)(lim n x nn n x x +∞→=61-e 2．设)(x f 在],[b a 上连续（a >0），在),(b a 内可导，证明：必存在点),(b a ∈ηξ，，使得)(2)(ηηξf ba f '+='． 证明：由于设)(x f 在],[b a 上连续（a >0），在),(b a 内可导。