由于线弹性力学的求解方程（15个）均为线 性微分（代数）方程，可以证明这个原理成立。
对于非线性问题，此原理不能应用。
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§5-4 线弹性力学的几个原理
4.2 解的唯一性定理
线弹性体在给定体力、面力和约束条件下
而处于平衡状态，变形体内各点的应力、应变 及位移的解是唯一的 ——解的唯一性定理。
ij G(ui, j u j,i ) ijuk,k
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§5-2 位移法
ij G(ui, j u j,i ) ijuk,k
上式代入平衡微分方程，得到位移法 的基本方程
G(ui, j u j,i ), j ijuk,kj fi 0 在V上
或
G2ui ( G)u j, ji fi 0 在V上
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§5-5 线弹性力学的几个问题的求解
例题1 正六面体不受体力作用， 但各表面受均匀压力p作用。 （右图） 这个问题为（相当）静水 压力问题。 采用应力法及逆解法。
猜应力：x=y=z=-p，xy=yz=zx=0；
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§5-5 线弹性力学的几个问题的求解
应力解是否为真解?它须满足平衡微分 方程和应力表示变形协调方程、是否满足力 的边界条件。
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§5-2 位移法
位移法求解思想：
选取 ui 为基本未知函数，而 ij 和 ij
均看成是由ui导出的未知函数，这样15
个方程中某些方程成为的ui ij ij
关系式。
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§5-2 位移法
位移法基本步骤：
基本未 几何方程 知
函数ui
应 变 kl 用 ui 物理方程
或 ui 0
ui ui' ui''
在Su无位移（齐次边界条件）
在弹性体无外力作用、表面无位移（无支
座移动）情况属于自然状态——弹性体无（初）
应力、无变形。，则 ij=0，ui=0, ij=0
所以第一组解和第二组解相等。
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§5-4 线弹性力学的几个原理
唯一性定理的好处是无论用什么方法求解， 只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定 是问题的真解。
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§5-2 位移法
力的边界条件转为用ui的偏微分表示的。 这类边界条件从形式上看可以处理，但实际操 作上有时较难处理。
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§5-3 应力法
如果将ij 作为基本未知量，力的边界条 件可直接用，下面讨论一下用ij作为基本未知
函数求解基本方程。
选取ij 为基本未知函数，而 ij 和ui 均看成 是由ij 导出的未知函数，这样15个方程中某些 方程成为的 ij ij ui 关系式。
应力解代入平衡微分方程（无体力时）：
ji,j=0 满足
应力解代入应力表示的变形 协调方程（无体力时）：
ij,kk
1
1
Θ ,ij
0
满足 。
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§5-5 线弹性力学的几个问题的求解
应力解代入力的边界条件： 可验证应力解满足力的边界条件。(作业)
因此，x=y=z=-p，xy=yz=zx=0 满足应力
ji,j+fi=0
在V上
2 ij
1
1
Θ，ij
1
ij
f k ,k
(
fi, j
f
j,i )
在V上
力的边界条件
X i n j ij
在S上
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§5-4 线弹性力学的几个原理
4.1 叠加原理
设线弹性体体积为V，表面为S，如果两组 外力（体力和面力）同时作用在物体上所产生 的效果（应力、应变和位移）等于它们分别作 用所产生的效果之和。
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§5-5 线弹性力学的几个问题的求解
u
p(1 2 )
E
x
f1( y, z)
p(1 E
2 )
x
c3 y
c2 z
1
v
p(1 E
2 )
y
f2 (z, x)
p(1 2 )
E
y
c1 z
c3 x
2
w
p(1 2 )
E
z
f1 ( x,
y)
p(1 2 )
E
z
c2 x c1 y 3
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表示
应 力 kl 用 ui
表示
kl 用ui 表示
用ui表示的平衡 微分方程
用ui表示的力的边界条 件（在S上）
位移边界条件（在Su上）
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§5-2 位移法
位移法的基本方程（3个） 推导（用指标符号 表示）
应变用位移表示
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
线性各向同性材料的应力用位移表示：
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.1 基本方程汇总
1.1.1 平衡微分方程（3个）
体力与应力之关系：指标符号表示 ji,j+fi=0
11
x1
21
x2
31
x3
f1
01
12
x1
22
x2
32
x3
f2
0
13
x1
23
x2
33
x3
f3
0
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
第五章 线弹性力学问题的基本解 法和一般性原理
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
§5-2 位移法 §5-3 应力法
§5-4 线弹性力学的几个原理
§5-5 线弹性力学的几个简单 问题的求解
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
在第二、三、四章较全面的讨论了弹性变 形体在承受外力作用时，发生变形和抗力（内 力），这些变形和内力应遵循的三个基本规律， 从而导出了待求物理量（应力、应变、位移） 所须满足的基本方程，共十五个，现汇总如下。
2 x
z 2
2 z
x 2
2 zx
xz
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
b. 变形协调方程
( yz zx xy ) 2 2 x
x x y z yz
( yz zx xy ) 2 2 y
y x y z zx
( yz zx xy ) 2 2 z
z x y z yx
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
当 S = S时称为微分方程第一边值问题； 当 Su = S时称为偏微分方程第二边值问题； 当 Su +S = S 称为偏微分方程第三边值问题。
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§5-2 位移法
弹性力学问题的待求函数共15个（ij、ij、 ui），如果一视同仁的同等看待，由给定的边界
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
w x
u z
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
b. 变形协调方程
指标符号表示
ij,kl kl,ij ik, jl jl,ik 0
2 x
y 2
2 y
x 2
2 xy
xy
2 y 2 z 2 yz
z 2 y2 zy
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§5-4 线弹性力学的几个问题的求解
4.3 逆解法和半逆解法
逆解法：首先根据基本方程的特点找出能满足 方程的一组解，然后代入边界条件检 验，判断是否为正确解。
半逆解法：根据边界条件特点或对应力、应变和 位移状态分布趋势的判断，假设能满 足部分边界条件和域内方程的未知函 数，并由其它边界条件和域内方程导 出其余未知函数。
即合力、合力矩为零）所引起的应变，在远离 作用区的地方可以忽略不计，如下图。
P
P
P
P
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P/A
P/A
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§5-4 线弹性力学的几个原理
因此，作用在弹性体局部面积上的力系 可以用作用在同一局部面积上的另一静力等 效力系来代替。圣维南原理以利于求解实际 问题，但解答在原局部区域内是不能用。
Y l xy m y n zy n112 n2 22 n3 32
Z l xz m yz n z n113 n2 23 n3 33
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.2.2 位移边界条件
ui ui 在 Su 上
uu vv ww
由三个基本规律导出的应力、应变和位移 满足的基本方程加上相应的边界条件建立了线 弹性问题解析法（微分提法）体系，从数学上 看是求偏微分方程组的边值问题。
指标符号表示
ij
(1
E
)
ij
E
ij
kk
上述所有方程为 ij 、 ij、ui在V上必须满足的
方程，同时在S上（边界上）有边界力或边界 位移。
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.2边界条件
1.2.1力的边界条件 Fi X i n j ji 在S 上
X l x m yx n zx n111 n2 21 n3 31
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§5-5 线弹性力学的几个问题的求解
例题2 等截面柱体在自重作用下
z
y