第二章 应力理论和应变理论2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。

解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知 σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定）代入材力有关公式得： 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy= -4 τxy = +2由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。

2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。

材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。

试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。

解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c 截面的内力：N z =γ·A ·z ；c 截面上的应力：z z N A zz A Aγσγ⋅⋅===⋅；所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为：z z z E Eσγε==；则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：()22z z z z z z z z y zz l d l d d zd EEEγγγε=⎰⋅∆=⎰⋅=⎰=⎰=ooooV ；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：()2222ll A l lW ll d l EEAEAγγ⋅⋅⋅⋅⋅=⎰∆===oV ；（W=γAl ） 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦应力单位为kg ／cm 2 。

试确定外法线为n i（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P v、正应力σn 及剪应力τn 。

解：首先求出该斜截面上全应力n P v在x 、y 、z 三个方向的三个分量：n ＇=n x =n y =n z题图1-3P x =()x xy xz σττ++n ＇=()2538100++-⨯=⎡⎤⎣⎦P y =()yx y yz τστ++n ＇=()2303100++-⨯=⎡⎤⎣⎦ P z =()zx yz z ττσ++n ＇=()()28311100-+-+⨯=⎡⎤⎣⎦所以知，该斜截面上的全应力n P v及正应力σn 、剪应力τn 均为零，也即：P n =σn = τn = 02—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。

己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。

解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得： 化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。

解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得： 则显然：3312317.08310 4.917100PaPa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 则：θ=+40.2688B 40°16＇ 或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。

解：由2—11题计算结果知该题的三个主应力分别为：1σ=20σ=；3σ=设σ2与三个坐标轴x 、y 、z 的方向余弦为：l 21、l 22、l 23，于是将方向余弦和σ2值代入下式即可求出σ2的主方向来。

以及：()22221222314l l l ++=L L L由（1）（2）得：l 23=0 由（3）得：2122l a l b =-；2221l bl a=-； 将以上结果代入（4）式分别得：21l ===；22l ===；2122al l b =-22l ∴==同理21l = 于是主应力σ2的一组方向余弦为：（，0）；σ3的一组方向余弦为（，2±）； 2—20.证明下列等式：（1）：J 2=I 2+2113I ； （3）：()212ii kk ik ik I σσσσ=--；证明（1）：等式的右端为： ()()22211223311231133I I σσσσσσσσσ+=-+++++故左端=右端证明（3）：()212ii kk ik ik I σσσσ=--右端=()12ii kk ik ik σσσσ-2—28：设一物体的各点发生如下的位移。

012301230123u a a x a y a z v b b x b y b z w c c x c y c z=+++⎧⎪=+++⎨⎪=+++⎩式中a 0、a 1………c 1、c 2均为常数，试证各点的应变分量为常数。

证明：将己知位移分量函数式分别代入几何方程得：1x u a xε∂==∂；2y v b y ε∂==∂；3z w c z ε∂==∂；12xy u v b a y xγ∂∂=+=+∂∂；23yz v wc b z yγ∂∂=+=+∂∂； 31zx u w a c y x γ∂∂=+=+∂∂； 2—29：设己知下列位移，试求指定点的应变状态。

（1）：()()22232010410u x v yx --⎧=+⨯⎪⎨=⨯⎪⎩ 在（0，2）点处；（2）：()()()22222615103210810u x w z xy v zy ---⎧=+⨯⎪⎪=-⨯⎨⎪=⨯⎪⎩在（1，3，4）点处解（1）：2610x ux xε-∂==⋅∂ 2410y v x y ε-∂==⋅∂ 20410xy u v y y x γ-∂∂=+=+⋅∂∂ 在（0，2）点处，该点的应变分量为: 0x y εε==；2810xy γ-=⨯；写成张量形式则为：204040010000ij ε-⎡⎤⎢⎥=⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦；解（2）：将己知位移分量函数式代入几何方程求出应变分量函数式，然后将己知点坐标（1，3，4）代入应变分量函数式。

求出设点的应变状态。

2212101210x u x xε--∂===⨯∂； 228103210yv z y ε--∂===⨯∂ 226102410z wz zε--∂===⨯∂； 0xy u v y x γ∂∂=+=∂∂ ()222010610zx w uy x zγ--∂∂=+=-+=-⨯∂∂； 用张量形式表示则为：2—32：试说明下列应变状态是否可能（式中a 、b 、c 均为常数）(1):()22200000ij c x y cxy cxycy ε⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2): ()()()()222222222210210211022ij axy ax by ax y az by ax by az by ε⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦(3): ()22200000ij c x y z cxyz cxyz cy z ε⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解（1）：由应变张量εij 知：εxz =εyz =εzx =εzy =εz =0 而εx 、εy 、εxy 及εyx 又都是x 、y 坐标的函数，所以这是一个平面应变问题。

将εx 、εy 、εxy 代入二维情况下，应变分量所应满足的变形协调条件知：22222y xyx y x x yεγε∂∂∂+=∂∂∂∂ 也即：2c +0=2c 知满足。

所以说，该应变状态是可能的。

解（2）：将己知各应变分量代入空间问题所应满足的变形协调方程得：222222222222222222222y xyx y yzz x zxz xy yz zx x xy yz y zx yz xy zx z y x x yz y y z x z z x x y z x y z y z x y z x z x y z x y εγεεγεεγεγγγεγγεγγγγε⎫∂∂∂+=⎪∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪+=∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂+=∂∂∂∂⎬∂∂⎛⎫∂∂∂+-= ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂⎛⎫∂∂+-= ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫∂∂∂+-= ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ (1)得：220000000002000ax ay b +=⎫⎪+=⎪⎪+=⎬=⎪⎪≠⎪=⎭不满足，因此该应变状态是不可能的。

解（3）：将己知应变分量代入上（1）式得：202000002220cz cz cy cy cx +=⎫⎪+≠⎪⎪=⎬⎪=⎪≠⎪⎭不满足，因此该点的应变状态是不可能的。

第三章：弹性变形及其本构方程3-5．试依据物体三向受拉，体积不会缩小的体积应变规律，来证明泊松比V 的上下限为0＜V ＜21；证明：当材料处于各向等值的均匀拉伸应力状态下时，其应力分量为：σ11=σ22=σ33=p σ12=σ23=σ31=0如果我们定义材料的体积弹性模量为k ，则显然：k =ep，e 为体积应变。

将上述应力分量的值代入广义胡克定律：e G ij ij ij λδεσ+=2 得：⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=eG p e G p e G p λελελε321222三式相加得：()e G p 233+=λ将p =ke 代入上式得：()G G k 323231+=+=λλ……………………（1） 由弹性应变能u 0的正定性（也就是说在任何非零的应力值作用下，材料变形时，其弹性应变能总是正的。

）知k ＞0，E ＞0，G ＞0。

因：ij ij od or e Ge ke J G I k u u u +=+=+=222102121181我们知道体积变形e 与形状变化部分，这两部分可看成是相互独立的，因此由u o 的正定性可推知： k ＞0，G ＞0。