• 工程应变与自然应变的关系：
（1）小变形时，e E；变形程度越大， 误差越大。
ln ln l0 e2 e3 e4 ln ln(1 ) ln(1 e ) e l0 l0 2 3 4
(5.22)
1.6 1.2 0.8 0.4 O -0.4 -0.8 -1.2 -1.6

有三个参数，能较 好地代表真实材料， 数学表达式简单。
(5.15)
s1，e1为0.7E(初始切 线模量)处的应力应变
例：钛合金钢
流动应力s1取(sbs0.2)/2。sb为抗拉 强度，s0.2为工程屈服应力；流动应 变e1 s1/E，E为弹性模量。
Ee / s 1
5.2 应力应变简化模型
s
6.反向加载应力-应变简化模型
sF 0:
s e F e E s 0. E
0.5s s eE eD 49e s 50e s e s E'
O es F 0.5s
C e
s
D
E
ss
应变路径为：051ss/E 49.5ss/E –ss/E 0
5.2 应力应变简化模型
例2：应力路径：01.5ss 0 –1.2ss 0
对线性强化弹性材料在加载时:
| e | e s
[s s E(e e s )]sign e Ee [1 w (e )]
[s s E (e e s )]sign e 1 w (e ) Ee
e s E' es w (e ) 1 (1 ) sign e e e E
e
e s / E
5.2 应力应变简化模型
2. 线性强化弹塑性模型
用应变表示的加载准则：
s ss
加载: s de 0, s [s s E(| e | e s )]sign e
E’
卸载:
s de 0, ds Ede
E O
es
| e | e s ,
e
s Ee
在许多实际工程问题中， 弹性应变<<塑性应变， 因而可以忽略弹性应变。
e
| e | e s
s Ee
5.2 应力应变简化模型
2. 线性强化弹塑性模型
（材料有显著强化率）
s ss
加载: s ds 0, e
s 1 1 (| s | s s )( )sign s E E E
E’
卸载:
s ds 0, de ds / E
E
O
es
| s | s s ,
e ee e p s
E e p
拉伸试验和静水压力试验是塑性力学 中的两个基本试验，塑性应力应变关 系的建立是以这些实验资料为基础。
s ss sa
O
s
P A0
屈服应力
屈服应力
s
3
e
B
C
A
1 2
B
s0.2 A
l l l0 l0 l0
ep ee
如:低碳钢,铸铁,合金钢等
D
D
e
O 0.2%
5.1 基本实验资料
二、静水压力(各向均匀受压)试验
(2)、静水压力对屈服极限的影响 Bridgman对镍、铌的拉伸试验表明，静水压力增大，塑性 强化效应增加不明显，但颈缩和破坏时的塑性变形增加了。
静水压力对屈服极限的影响常可忽略。
5.2 应力应变简化模型
1、必须符合材料的实际性质
选取模型的标准：
应变强化(或加工硬化)。
材料在塑性阶段的一个重要特点：在加载和卸载的过程中应力和应变服从
不同的规律：
加载
简单拉伸试验 的塑性阶段：
s ds 0 s ds 0
ds Et d e
卸载
ds Ede
5.1 基本实验资料
一、应力--应变曲线
（2）拉伸与压缩曲线的差异（一般金属材料）
• 应变<10%时，基本一致；
区域的分界面也会产生变化。
5.1 基本实验资料
二、静水压力(各向均匀受压)试验
(1)、体积变化 体积应变与压力的关系 (bridgman实验公式)
V 1 1 em p(1 p) V0 K K1
体积压缩模量 派生模量
V 或 ap bp 2 V0
铜：当p＝1000MPa时，ap＝
各阶段的相应应变为：
(5.23)
l1 l0 l3 l2 l2 l1 e1 ; e2 ; e3 l0 l1 l2
例如： l0 1.5l0 1.8l0 2l0
7.31×10-4，而bp2＝2.7×10-6。说明 第二项远小于第一项，可以略去不 计。因此根据上述试验结果，在塑 性理论中常认为体积变形是弹性的。
铜 a b 7.31x10-7 2.7x10-12
铝 13.34x10-7 3.5x10-12
铅 23.73x10-7 17.25x10-12
因而对钢、铜等金属材料，可以认为塑性变形不受静水压力 的影响。但对于铸铁、岩石、土壤等材料，静水压力对屈服 应力和塑性变形的大小都有明显的影响，不能忽略。
• 应变10%时，较大差异。
用简单拉伸试验代替简单压缩试 验进行塑性分析是偏于安全的。
s
压 拉
O
一般金属的拉伸与压缩曲线比较
e
5.1 基本实验资料
一、应力--应变曲线
（3）反向加载 卸载后反向加载，ss’’< ss’——Bauschinger效应
s
B A
拉伸塑性变形后使 压缩屈服极限降低 的现象。即正向强 化时反向弱化。
e E=lnl/l0
1.0 1.2 1.4 1.6
当变形程度小于10% 时，两值比较接近。
l/l0
小变形与大变 形界限的由来
5.3 应变的表示法
• 工程应变与自然应变的关系：
（2）自然应变为可加应变，工程应变为不可加应变
假设某物体原长l0 ，经历l1，l2变为l3，总相对应变为：
l3 l0 e l0
5.2 应力应变简化模型
* 刚塑性模型（忽略弹性变形）
e 总应变较大， e = e p
(a) 理想刚塑性模型
(b) 线性强化刚塑性模型
s ss e
s ss,
当e 0时
s ss
O
O
e
s s s E1e ,
当e 0时
特别适宜于塑性极限载荷的分析。
5.2 应力应变简化模型
3. 一般加载规律
颈缩阶段： 应变；应力
不符合材料的实际情况
l1 l0 l2 l1 ln ln 1 n 1 li 1 li e i 0 l0 l1 ln 1 li ln dl ln l l0
ln l0
(5.20)
适用于大变形
(5.21)
5.3 应变的表示法
在e＝0处与s轴相切
只有两个参数A和n，因而也不可能 准确地表示材料的所有特征。但由 于解析式比较简单，而且n可以在较 大范围内变化，所以也经常被采用。
5.2 应力应变简化模型
5. Ramberg-Osgood模型 (三参数模型)
s / s1
强化系数 强化指数
e s 3 s m ( ) e1 s 1 7 s 1
s
ss
用应变表示的加载准则：
加载:
s d e 0,
s s s sign e
s de 0,
ds Ed e
优点: 理想弹塑性模型抓住了韧 性材料的主要特征，因而 与实际情况符合得较好。
E O
es
符号函数: 1, s 0 sign e 0, s 0 1, s 0
2、数学上必须是足够地简单
• 一般应力-应变曲线：
s =Ee ， e < es (屈服前：线弹性) s =(e) ，e > es (屈服后)
5.2 应力应变简化模型
1. 理想弹塑性模型
（软钢或强化率较低的材料）
s
ss
加载:
s ds 0, e s / E sign s
等于零的参数
为一个大于或
卸载:
s ds 0, de ds / E
符号函数:
E O
e es
| s | s s ,
1, s 0 sign s 0, s 0 1, s 0
e s / E
5.2 应力应变简化模型
1. 理想弹塑性模型
缺点:
公式只包括了材料常数E 和s，故不能描述应力应 变曲线的全部特征； 在e＝es处解析式有变化， 给具体计算带来困难; 卸载:
s D 0.5s s :
e O s O / E 0; s s 0.5s s eB 51e s ; E E' 1.5s s e C 51e s 49.5e s E 0.5s s e D eC 49e s ;
E
1.5ss
s
B A
ss
s E s s :
ep ee
（b）无明显屈服流动阶段
如:中碳钢,高强度合金钢, 有色金属等
D
e
（a）有明显屈服流动阶段
5.1 基本实验资料
一、应力--应变曲线
经过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力。在第二次加载过程中， 弹性系数仍保持不变，但弹性极限及屈服极限有升高现象，其升高程度与 塑性变形的历史有关，决定与前面塑性变形的程度。这种现象称为材料的
工程弹塑性力学
浙江大学
建筑工程学院
第五章 简单应力状态的弹塑性问题
5.1 基本实验资料 5.2 应力－应变的简化模型 5.3 应变的表示法
5.4 理想弹塑性材料的简单桁架