波动率研究一、波动率概念波动率是金融资产价格的波动程度，是对资产收益率不确定性的衡量，用于反映金融资产的风险水平。

波动率越高，金融资产价格的波动越剧烈，资产收益率的不确定性就越强；波动率越低，金融资产价格的波动越平缓，资产收益率的确定性就越强。

二、波动率的分类1、隐含波动率隐含波动率是将市场上的权证交易价格代入权证理论价格模型，反推出来的波动率数值。

从理论上讲，要获得隐含波动率的大小并不困难。

由于期权定价模型(如BS模型)给出了期权价格与五个基本参数(标的股价、执行价格、利率、到期时间、波动率)之间的定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入定价公式，就可以从中解出惟一的未知量，其大小就是隐含波动率。

因此，隐含波动率又可以理解为市场实际波动率的预期。

2、历史波动率历史波动率是指投资回报率在过去一段时间内所表现出的波动率，它由标的资产市场价格过去一段时间的历史数据（即St的时间序列资料）反映。

这就是说，可以根据{St}的时间序列数据，计算出相应的波动率数据，然后运用统计推断方法估算回报率的标准差，从而得到历史波动率的估计值。

显然，如果实际波动率是一个常数，它不随时间的推移而变化，则历史波动率就有可能是实际波动率的一个很好的近似。

3、预测波动率预测波动率又称为预期波动率，它是指运用统计推断方法对实际波动率进行预测得到的结果，并将其用于期权定价模型，确定出期权的理论价值。

因此，预测波动率是人们对期权进行理论定价时实际使用的波动率。

这就是说，在讨论期权定价问题时所用的波动率一般均是指预测波动率。

需要说明的是，预期波动率并不等于历史波动率，因为前者是人们对实际波动率的理解和认识，当然，历史波动率往往是这种理论和认识的基础。

除此之外，人们对实际波动率的预测还可能来自经验判断等其他方面。

4、已实现波动率已实现波动率是针对频率较高的数据计算的一种波动率，又称为日内波动率或高频波动率。

高频数据是指以小时、分钟或秒为采集频率的数据。

还有一类数据叫超高频数据，即人们获得的股票市场、外汇市场、期货市场实时的每笔成交数据。

超高频数据的时间间隔是不一定相等的，具有时变性，它是交易过程中实时采集的数据，或称逐笔数据(Tick-by-Tick Data)。

Garman & Klass(1980年)提出了日内波动率的一种估算方法—OHLC；Andersen, Bollerslev(1998)提出使用日内高频股价数据，可以获得对日波动率更精确的描述，并由此建立了一种基于高频股价数据的已实现波动率测度方法。

由于高频数据中蕴含了比低频数据更多的市场波动信息，因此基于高频数据的波动率测度一定是一种更为真实的市场波动描述。

已实现波动率的计算不需要复杂的参数估计方法，无模型、计算简便，在一定条件下是积分波动率(已实现波动率的概率极限)的无偏估计量，近年来在高频领域中获得了广泛的应用。

5、其它高频波动率高频数据包含了关于市场微观结构的信息，且频率越高，包含信息越多，而低频数据中，几乎不包含市场微观结构的信息。

传统的经济理论通常认为市场是有效的：没有交易成本，没有摩擦，当前价格反映了所有信息、是资产的有效价格，已实现波动率即是基于资产的真实价格来估计的。

但是，现实的金融市场往往并不满足有效市场的假设，存在着诸如价格离散化、非对称信息、买卖报价差(Bid-AskSpread)、不同步交易(Asynchxonous Trading)、流动性效应(Liquidity Effects)及闭市效应(Market Closing)等因素，这使得观测价格偏离了资产有效价格，二者之间的差异即为市场微观结构噪声(Market Microstructure Noise)。

抽样频率越高，由市场微观结构噪声引起的市场微观结构误差也会随着加大，从而导致日内收益率的自相关现象，使得已实现波动率不再是无偏估计量。

除市场微观结构噪声外，跳跃也会对高频数据波动的估计产生影响。

早期研究中，通常假设金融资产的价格具有时间连续性，资产收益率通常进行小幅的连续平稳变化。

然而，重大或异常的信息会导致资产价格产生跳跃性的变化，资产收益率在会在短时间内发生大幅波动，当有跳跃存在的时候，已实现波动也不再是无偏估计量，无法准确地对高频数据波动进行估计。

随着对高频领域研究的深入，研究者们越来越重视跳跃对于资产收益率及其波动的估计和预测的影响。

此外，高频数据经常呈现出季节性，这对应用其建模的影响非常明显，因此，在进行高频数据的预测之前首先进行季节性成分的估计和数据的调整。

高频数据的季节性就是通常所说的“日历效应"，即金融序列的收益率和波动率呈现出日内U形。

直观上理解即开盘或者收盘的时候交易都是比较活跃的，而在其他时间交易是较平淡的。

为消除市场微观结构噪声、跳跃及季节性对波动率估计的影响，很多研究者提出了各种对已实现波动率进行改进的方法，包括加权已实现波动率、已实现级差波动率、加权已实现级差波动率、门限预平均已实现波动率等等。

三、波动率特征1、均值回归特征均值回归特征，是指波动率总是在均值上下某个范围内运行，当远离均值时，波动率倾向于向均值方向波动。

对于此特点，投资者可从市场交易角度理解。

一般市场不会永久性单边上涨（或下跌），也不会长期显现震荡行情。

从而波动率就不可能只会上涨（或下跌），即波动率过高后，出现回落；波动率过低后，出现上涨，从而出现均值回归现象。

2、波动率微笑特征波动率微笑（volatility smiles）是形容期权隐含波动率(implied volatility)与行权价格（strike price）之间关系的曲线。

一般来说，Black-Scholes期权定价模型中假设股价波动率是常数，这在实际中一般低估了标的物的波动率。

对于股票期权来说，行权价格越高，波动率越小，当行权价趋于正无限时，看涨期权价格趋近于0，看跌趋近于正无限，波动率均趋近于0；而对于汇率期权来说，则行权价越接近现价，波动率越小。

而之所以被称为“波动率微笑”，是指虚值期权和实值期权（out of money和in the money）的波动率高于平价期权（at the money）的波动率，使得波动率曲线呈现出中间低两边高的向上的半月形，像是微笑的嘴形，因此叫做微笑期权。

期权微笑产生的原因：许多关于股票期权定价的实证研究发现了期权隐含波动率微笑的现象。

其中，隐含波动率是将市场上的期权交易价格和其他参数代入期权理论价格模型，反推出来的波动率数值。

根据Black-Scholes模型的常数波动率假设，同种标的资产的期权应具有相同的隐含波动率，但实证研究表明，同种标的资产、相同到期日的期权，当期权处在深度实值和深度虚值时，隐含波动率往往更大，就会出现隐含波动率微笑（如下图）。

同时，由Black-Scholes模型可知期权价格是资产波动率的单调递增函数。

那么，当现实中期权处于深度实值和深度虚值，隐含波动率大于Black-Scholes 模型假设的常数波动率时，实际期权价格高于Black-Scholes模型推出的理论价格。

是什么原因导致这种情况下期权价格被高估，出现隐含波动率微笑？现实世界中，期权处于深度实值和深度虚值的概率较低，根据前景理论中的决策权重函数的特点可知，投资者往往高估小概率事件，对小概率事件赋予过高的决策权重。

另外，前景理论中期望的价值是由“价值函数”和“决策权重”共同决定的。

因此，当投资者对期权深度实值和深度虚值的情况赋予过高的权重时，会导致其对期权的期望价值过高，引起股票期权价格被高估，出现隐含波动率微笑的现象。

四、波动率的计算和实现1、隐含波动率的计算（1）、B-S模型(一)、B-S模型有7个重要的假设：1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。

6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。

(二)、B-S定价公式其中：C—期权初始合理价格L—期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率σ2—年度化方差N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。

一个简单的或不连续的无风险利率(设为)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。

必须转化为r方能代入上式计算。

两者换算关系为:或。

例如，则r=ln(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用计算的答案一致。

第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。

如果期权有效期为100天，则。

2、历史波动率的计算方法一：百分比价格变动法(即价格的环比增长速度)。

Xi是资产的百分比收益，Pi是昨天(基期)资产的价格，Pi + 1是今天(报告期)资产的价格。

方法二：对数价格变动法。

Xi是资产的对数收益，Pi是昨天(基期)资产的价格，Pi + 1是今天(报告期)资产的价格。

值得注意的是，上述两个公式的假定不一样，百分比收益公式假定有固定的不连续间隔价格变化，而对数收益公式假定价格是连续的变化。

在Black-Scholes模型中，假定价格变动是连续的，可从连续利率因子e−RT将敲定价格换算成现值这一事实推导得出。

所以，对于这个模型，对数收益公式是确定波动率的合适公式。

针对资产的对数收益求其平均数，然后根据下面公式得到历史波动率的估计值。

这里N是观察值的数量，σ代表对数收益的平均离差，即标准差。

若将日、周等标准差转化为年标准差，需要乘以以年为单位的频数长度的平方根。

如欧洲期权市场一年有252个工作日，X i为日变量，则年波动率为。

历史波动率估计应考虑的问题：1）、历史波动率估计的数据频率估计历史波动率可使用的数据频率有：交易日、日历日、星期、月份或季度。

选择不同的数据频率，波动率的结果是不一样的。

如果取得的系列数据不理想，结果会造成较大的估计错误。

要使统计误差最小，大部分的分析家尽可能利用更小单位的每日数据。

但选择日变量，面临对日历天数、交易日(工作日)、经济日的选择。

日历天数是已过去的波动率估计日的实际值，交易日等于日历天数减去周末和节假日，经济日指一些影响资产价格变动的重要事件发生时波动率高的日子。

首要的事情是，在估计标的资产波动率时，我们应该选用日历日还是交易日?很清楚的是当没有人买人和卖出期权时，期权价格将永远不会发生变化，因而，由于市场和交易引起波动率变化而导致价格发生变化。